ARIMAモデル

Box-Jenkins法

Box-Jenkins法は、時系列データの分析のフレームワーク。

以下の手順で分析を行う

1. データを分析しやすくなるよう変換する（定常過程にする）

2. ARIMAモデル系のモデルを適用する

3. モデルの適合性を評価する

4. モデルを用いて予測する

AR過程

自己回帰（AR）過程 （autoregressive process）は、過程が自身の過去に回帰された形で表現される過程。

1次AR過程 \(\text{AR}(1)\)

\[ y_t=c+\phi_1 y_{t-1}+\varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim \text { W.N. }(\sigma^2) \]

• \(c\)：定数項

• \(\phi_1\)：係数

一般の\(p\)次AR過程は次のように表される。

\(p\)次AR過程 \(\text{AR}(p)\)

\[\begin{split} \begin{aligned} y_t &= c + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t\\ &= c + \sum_{i=1}^p \phi_i y_{t-i} + \varepsilon_t\\ \end{aligned} \end{split}\]

• \(c\)：定数項

• \(\phi_i\)：係数

特性方程式と定常性

ARモデルは常に定常になるとは限らない。定常性をもつ条件は、\(\text{AR}(1)\)なら\(|\phi_1| < 1\)となる。

一般の\(\text{AR}(p)\) 過程では

\[ y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t \]

ラグ作用素\(L\)を用いると

\[ \left(1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p\right) y_t = c + \varepsilon_t \]

この多項式を\(\phi(L)\)とすると、特性方程式は

\[ \phi(z) = 1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \cdots - \phi_p z^p = 0 \]

AR(p)過程が定常であるための条件は、特性方程式の全ての根が単位円の外側にあること。つまり、すべての根\(z_i\)について\(|z_i| > 1\)が成り立つ必要がある。

MA過程

移動平均（MA）過程 （moving average process） はホワイトノイズ\(\text{W.N.}\)の線形和による過程。

1次MA過程\(MA(1)\)

\[ y_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1 \varepsilon_{t-1}, \quad \varepsilon_t \sim \text{W.N.}(\sigma^2) \]

\(t-1\)時点は \(y_{t-1}=\mu+\varepsilon_{t-1}+\theta_1 \varepsilon_{t-2}\) となり、\(y_t\)と共通する \(\varepsilon_{t-1}\) を含むため、\(y_t\)と\(y_{t-1}\)の間の自己相関を表現するモデルとなる。\(\theta_1\)が自己相関の強さを表す。

\(q\)次移動平均過程 \(\text{MA}(q)\)

\[\begin{split} \begin{aligned} y_t &= \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q} \\ &= \mu + \sum_{j=1}^q \theta_j \varepsilon_{t-j} + \varepsilon_t \end{aligned} \end{split}\]

ラグ作用素を用いると

\[ y_t = \mu + \theta(L) \varepsilon_t = \mu + (1 + \theta_1 L + \theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q) \varepsilon_t \]

MA過程の性質

• 常に定常: MA過程は常に定常である（ホワイトノイズの有限和であり、定常過程の和は定常過程になるため）

• 有限の自己共分散: ラグ\(q\)より大きいラグでは自己共分散が0になる

• 反転可能性: MA過程をAR表現に変換できる条件として、特性方程式\(\theta(z) = 0\)の全ての根が単位円の外側にある必要がある

MA(1)過程の自己共分散

MA(1)過程 \(y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}\) の自己共分散は

\[\begin{split} \gamma(k) = \begin{cases} (1 + \theta_1^2)\sigma^2 & k = 0 \\ \theta_1 \sigma^2 & k = 1 \\ 0 & k \geq 2 \end{cases} \end{split}\]

ARMAモデル

自己回帰移動平均（ARMA）過程 はARモデルとMAモデルを組み合わせたモデル。

\(\text{ARMA}(p, q)\) 過程

\[\begin{split} \begin{aligned} y_t &= c + \phi_1 y_{t-1} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q}\\ &= c + \sum_{i=1}^p \phi_i y_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^q \theta_j \varepsilon_{t-j} \end{aligned} \end{split}\]

ラグ作用素を用いると

\[ \phi(L) y_t = c + \theta(L) \varepsilon_t \]

ARMAモデルの定常性と反転可能性

• 定常性: AR部分の特性方程式\(\phi(z) = 0\)の全ての根が単位円の外側にあること

• 反転可能性: MA部分の特性方程式\(\theta(z) = 0\)の全ての根が単位円の外側にあること

モデル選択

適切なARMAモデルの次数(p, q)を選択するために以下の方法を用いる:

• ACF (自己相関関数): MA次数qの決定に有用（ラグqより後で急激に減衰）

• PACF (偏自己相関関数): AR次数pの決定に有用（ラグpより後で急激に減衰）

• 情報量基準: AIC（赤池情報量基準）、BIC（ベイズ情報量基準）などを用いてモデルを比較

ARIMAモデル

自己回帰和分移動平均（ARIMA）過程 は非定常時系列をモデル化するために、差分化を組み込んだモデル。ARIMA(p, d, q)過程は以下のように定義される:

\[ \phi(L) (1-L)^d y_t = c + \theta(L) \varepsilon_t \]

ここで

• \(p\): AR次数（自己回帰の次数）

• \(d\): 差分の次数（和分の次数）

• \(q\): MA次数（移動平均の次数）

• \((1-L)^d\): d階差分作用素

差分化による定常化

非定常な時系列データに対して、d階差分をとることで定常時系列に変換する:

• 1階差分: \(\nabla y_t = y_t - y_{t-1} = (1-L)y_t\)

• 2階差分: \(\nabla^2 y_t = \nabla y_t - \nabla y_{t-1} = (1-L)^2 y_t\)

ARIMAモデルの構築手順

1. 定常性の確認:

   • 時系列プロットの目視確認

   • 単位根検定（ADF検定、KPSS検定など）

2. 差分化: 非定常の場合、適切な次数dで差分化

3. 次数の決定:

   • ACF、PACFの確認

   • 情報量基準（AIC、BIC）による比較

4. パラメータの推定: 最尤法などによる推定

5. 診断チェック:

   • 残差の正規性検定

   • 残差の自己相関チェック（Ljung-Box検定）

SARIMAモデル

季節性自己回帰和分移動平均（SARIMA）過程 は、季節性を持つ時系列データをモデル化するためにARIMAモデルを拡張したもの。SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)ₛ と表記される。

\[ \phi(L)\Phi(L^s)(1-L)^d(1-L^s)^D y_t = c + \theta(L)\Theta(L^s)\varepsilon_t \]

ここで

• \((p, d, q)\): 非季節部分の次数

• \((P, D, Q)\): 季節部分の次数

• \(s\): 季節の周期（例：月次データなら12、四半期データなら4）

• \(\Phi(L^s)\): 季節AR多項式

• \(\Theta(L^s)\): 季節MA多項式

• \((1-L^s)^D\): 季節差分作用素

季節差分

季節性を除去するために季節差分を適用する:

• 季節差分: \(\nabla_s y_t = y_t - y_{t-s} = (1-L^s)y_t\)

• 例：月次データの場合、\(\nabla_{12} y_t = y_t - y_{t-12}\)

SARIMAモデルの例

月次販売データでSARIMA(1,1,1)(1,1,1)₁₂ を考えると:

• 非季節部分: AR(1), 1階差分, MA(1)

• 季節部分: 季節AR(1), 季節1階差分, 季節MA(1), 周期12

モデル選択のポイント

• 季節ACF/PACF: 季節ラグ(s, 2s, 3s, …)での挙動を確認

• 段階的な差分化: まず季節差分、次に通常差分を適用

• 情報量基準: 複数のモデル候補を比較してAIC/BICが最小のモデルを選択

実装

AutoArima

Arimaの次数はハイパーパラメータなので、最適な次数を探す必要がある。
その探索を自動でやる（AICなどの基準を元に最適化する）アルゴリズムの総称がAutoARIMA

• AutoARIMA — sktime documentation

• pmdarima · PyPI

Pythonによる実装例

以下では、statsmodelsライブラリを用いたARIMAモデルの実装例を示す。

Show code cell source

Hide code cell source

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

データの生成と定常性の確認

Show code cell source

Hide code cell source

# サンプルデータの生成（トレンドと季節性を含む）
np.random.seed(42)
n = 200
t = np.arange(n)

# トレンド + 季節性 + ノイズ
trend = 0.5 * t
seasonal = 10 * np.sin(2 * np.pi * t / 12)
noise = np.random.normal(0, 2, n)
y = trend + seasonal + noise

# データフレームに変換
df = pd.DataFrame({
    'time': pd.date_range('2000-01', periods=n, freq='M'),
    'value': y
})
df.set_index('time', inplace=True)

# プロット
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(df.index, df['value'])
plt.title('Original Time Series')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.grid(True)
plt.show()

Show code cell source

Hide code cell source

# ADF検定による定常性の確認
def adf_test(series, name=''):
    result = adfuller(series, autolag='AIC')
    print(f'ADF Test: {name}')
    print(f'ADF Statistic: {result[0]:.4f}')
    print(f'p-value: {result[1]:.4f}')
    print(f'Critical Values:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'  {key}: {value:.4f}')
    
    if result[1] <= 0.05:
        print("=> 帰無仮説を棄却: データは定常")
    else:
        print("=> 帰無仮説を棄却できない: データは非定常")
    print()

adf_test(df['value'], 'Original Series')

ADF Test: Original Series
ADF Statistic: 0.0271
p-value: 0.9607
Critical Values:
  1%: -3.4658
  5%: -2.8771
  10%: -2.5751
=> 帰無仮説を棄却できない: データは非定常

差分化と ACF/PACF の確認

Show code cell source

Hide code cell source

# 1階差分
df['diff1'] = df['value'].diff()

# 1階差分のADF検定
adf_test(df['diff1'].dropna(), '1st Difference')

# ACFとPACFのプロット
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(8, 4))

# 元データ
axes[0, 0].plot(df['value'])
axes[0, 0].set_title('Original Series')
axes[0, 0].grid(True)

# 1階差分
axes[0, 1].plot(df['diff1'])
axes[0, 1].set_title('1st Difference')
axes[0, 1].grid(True)

# ACF
plot_acf(df['diff1'].dropna(), lags=40, ax=axes[1, 0])
axes[1, 0].set_title('ACF of 1st Difference')

# PACF
plot_pacf(df['diff1'].dropna(), lags=40, ax=axes[1, 1])
axes[1, 1].set_title('PACF of 1st Difference')

plt.tight_layout()
plt.show()

ADF Test: 1st Difference
ADF Statistic: -9.4658
p-value: 0.0000
Critical Values:
  1%: -3.4660
  5%: -2.8772
  10%: -2.5751
=> 帰無仮説を棄却: データは定常

ARIMAモデルの適合

Show code cell source

Hide code cell source

# データを訓練セットとテストセットに分割
train_size = int(len(df) * 0.8)
train, test = df['value'][:train_size], df['value'][train_size:]

print(f"Training set size: {len(train)}")
print(f"Test set size: {len(test)}")

# ARIMA(1,1,1)モデルの適合
model = ARIMA(train, order=(1, 1, 1))
fitted_model = model.fit()

# モデルのサマリー
print(fitted_model.summary())

Training set size: 160
Test set size: 40
                               SARIMAX Results                                
==============================================================================
Dep. Variable:                  value   No. Observations:                  160
Model:                 ARIMA(1, 1, 1)   Log Likelihood                -454.238
Date:                Tue, 02 Dec 2025   AIC                            914.475
Time:                        14:37:43   BIC                            923.682
Sample:                    01-31-2000   HQIC                           918.214
                         - 04-30-2013                                         
Covariance Type:                  opg                                         
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ar.L1          0.5562      0.179      3.108      0.002       0.206       0.907
ma.L1         -0.2064      0.219     -0.944      0.345      -0.635       0.222
sigma2        17.7209      2.259      7.845      0.000      13.293      22.149
===================================================================================
Ljung-Box (L1) (Q):                   0.40   Jarque-Bera (JB):                 0.98
Prob(Q):                              0.53   Prob(JB):                         0.61
Heteroskedasticity (H):               1.35   Skew:                            -0.05
Prob(H) (two-sided):                  0.28   Kurtosis:                         2.63
===================================================================================

Warnings:
[1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

# 残差診断
residuals = fitted_model.resid

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(8, 4))

# 残差のプロット
axes[0, 0].plot(residuals)
axes[0, 0].set_title('Residuals')
axes[0, 0].grid(True)

# 残差のヒストグラム
axes[0, 1].hist(residuals, bins=30, edgecolor='black')
axes[0, 1].set_title('Histogram of Residuals')

# 残差のACF
plot_acf(residuals, lags=40, ax=axes[1, 0])
axes[1, 0].set_title('ACF of Residuals')

# Q-Qプロット
from scipy import stats
stats.probplot(residuals, dist="norm", plot=axes[1, 1])
axes[1, 1].set_title('Q-Q Plot')

plt.tight_layout()
plt.show()

予測と評価

Show code cell source

Hide code cell source

# 予測
forecast_steps = len(test)
forecast = fitted_model.forecast(steps=forecast_steps)

# 予測結果のプロット
plt.figure(figsize=(8, 3))
plt.plot(train.index, train, label='Training Data', color='blue')
plt.plot(test.index, test, label='Test Data', color='green')
plt.plot(test.index, forecast, label='Forecast', color='red', linestyle='--')
plt.title('ARIMA Model Forecast')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 評価指標の計算
from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_error

mse = mean_squared_error(test, forecast)
rmse = np.sqrt(mse)
mae = mean_absolute_error(test, forecast)

print(f'Mean Squared Error (MSE): {mse:.4f}')
print(f'Root Mean Squared Error (RMSE): {rmse:.4f}')
print(f'Mean Absolute Error (MAE): {mae:.4f}')

Mean Squared Error (MSE): 107.1315
Root Mean Squared Error (RMSE): 10.3504
Mean Absolute Error (MAE): 8.5531

SARIMAモデルの適合例

# SARIMA(1,1,1)(1,1,1,12)モデルの適合
# 季節周期12（月次データを想定）
sarima_model = SARIMAX(
    train,
    order=(1, 1, 1),
    seasonal_order=(1, 1, 1, 12),
    enforce_stationarity=False,
    enforce_invertibility=False
)

sarima_fitted = sarima_model.fit(disp=False)

# モデルのサマリー
print(sarima_fitted.summary())

                                     SARIMAX Results                                      
==========================================================================================
Dep. Variable:                              value   No. Observations:                  160
Model:             SARIMAX(1, 1, 1)x(1, 1, 1, 12)   Log Likelihood                -284.837
Date:                            Tue, 02 Dec 2025   AIC                            579.675
Time:                                    14:37:44   BIC                            594.127
Sample:                                01-31-2000   HQIC                           585.548
                                     - 04-30-2013                                         
Covariance Type:                              opg                                         
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ar.L1         -0.1455      0.100     -1.462      0.144      -0.341       0.050
ma.L1         -0.9770      0.060    -16.317      0.000      -1.094      -0.860
ar.S.L12      -0.1585      0.098     -1.621      0.105      -0.350       0.033
ma.S.L12      -0.9420      0.337     -2.798      0.005      -1.602      -0.282
sigma2         3.4912      1.114      3.134      0.002       1.308       5.675
===================================================================================
Ljung-Box (L1) (Q):                   0.21   Jarque-Bera (JB):                 0.07
Prob(Q):                              0.65   Prob(JB):                         0.96
Heteroskedasticity (H):               1.42   Skew:                             0.05
Prob(H) (two-sided):                  0.24   Kurtosis:                         3.06
===================================================================================

Warnings:
[1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

Show code cell source

Hide code cell source

# SARIMAモデルによる予測
sarima_forecast = sarima_fitted.forecast(steps=forecast_steps)

# 予測結果の比較
plt.figure(figsize=(8, 3))
plt.plot(train.index, train, label='Training Data', color='blue')
plt.plot(test.index, test, label='Test Data', color='green')
plt.plot(test.index, forecast, label='ARIMA Forecast', color='red', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.plot(test.index, sarima_forecast, label='SARIMA Forecast', color='orange', linestyle='-.', alpha=0.7)
plt.title('ARIMA vs SARIMA Forecast')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# SARIMAモデルの評価
sarima_mse = mean_squared_error(test, sarima_forecast)
sarima_rmse = np.sqrt(sarima_mse)
sarima_mae = mean_absolute_error(test, sarima_forecast)

print('ARIMA Model:')
print(f'  RMSE: {rmse:.4f}')
print(f'  MAE: {mae:.4f}')
print()
print('SARIMA Model:')
print(f'  RMSE: {sarima_rmse:.4f}')
print(f'  MAE: {sarima_mae:.4f}')

ARIMA Model:
  RMSE: 10.3504
  MAE: 8.5531

SARIMA Model:
  RMSE: 1.6979
  MAE: 1.3390