三角関数#
三角比#
直角三角形は、内角\(\theta\)の値を固定するとすべて相似な形となるため、\(x/r\)や\(y/r\)などの辺の長さ同士の比は一定になる。
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
base = [0, 0]
x = [2, 0]
r = [2, 1]
fig, ax = plt.subplots(figsize=[4,3])
ax.plot([base[0], x[0]], [base[1], x[1]], label=r"$x$", color="steelblue")
ax.text(x=(x[0] - x[1])/2, y=x[1]+0.01, s=r"$x$", color="steelblue")
ax.plot([base[0], r[0]], [base[1], r[1]], label=r"$r$", color="green")
ax.text(x=1, y=0.5, s=r"$r$", color="green", ha="right")
ax.plot([x[0], r[0]], [x[1], r[1]], label=r"$y$", color="orange")
ax.text(x=x[0]-0.02, y=(r[1]-x[1])/2, s=r"$y$", color="orange", ha="right")
ax.legend()
fig.show()
この値を三角比と呼び、角度\(\theta\)の値によって決まるものとなる。
\[\begin{split}
\sin \theta = \frac{y}{r}\\
\cos \theta = \frac{x}{r}\\
\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\end{split}\]
三角関数#
三角比の定義では、直角三角形の内角となりうる\(0^\circ\)から\(90^\circ\)の間の値しかとれないが、それ以外の値もとれるように定義を拡張したものが三角関数である。
\(r=1\)の場合、\(\sin \theta = \frac{y}{1} = y, \cos \theta = \frac{x}{1} = x\)となり扱いやすい。これを利用して、半径1、中心が原点の円（単位円）の円周上の点、\(x\)軸の正の向きからの角度が\(\theta\)の点の\(y\)座標を\(\sin \theta\)、\(x\)座標を\(\cos \theta\)と定義する。
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theta = (np.arange(0, 360) * np.pi / 180)
y = np.sin(theta)
x = np.cos(theta)
# base
fig, ax = plt.subplots(figsize=[4, 4])
ax.plot(x, y)
ax.axhline(0, color="gray")
ax.axvline(0, color="gray")
# line
theta = (120 * np.pi / 180)
y = np.sin(theta)
x = np.cos(theta)
ax.plot([0, x], [0, y], color="darkorange")
ax.text(x - 0.1, y + 0.1, r"($\cos \theta, \sin \theta$)", color="darkorange", ha="center")
fig.show()
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fig, ax = plt.subplots(figsize=[6,2])
width = 2 * np.pi
x = np.linspace(-width, width, 100)
ax.plot(x, np.sin(x), label=r"$\sin x$")
ax.plot(x, np.cos(x), label=r"$\cos x$")
ax.axhline(0, color="gray", alpha=0.5)
step_size = np.pi / 2
ticks = np.arange(-width, width + step_size, step_size) # 0から2πまでπ/2刻み
tick_labels = [r"-2$\pi$", r"-$\frac{3\pi}{2}$", r"-$\pi$", r"-$\frac{\pi}{2}$", r"$0$", r"$\frac{\pi}{2}$", r"$\pi$", r"$\frac{3\pi}{2}$", r"$2\pi$"]
ax.set_xticks(ticks)
ax.set_xticklabels(tick_labels)
ax.grid(True)
ax.legend()
fig.show()
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fig, ax = plt.subplots(figsize=[6,2])
r = np.array([0, 0.5, 1, 1.5, 2])
r = (-r).tolist() + r.tolist()
ticks = [c * np.pi for c in r]
x = np.linspace(-6.5, 6.5, 100)
ax.plot(x, np.tan(x), label=r"$\tan x$")
ax.set(xticks=ticks)
ax.grid(True)
ax.legend()
fig.show()
逆三角関数#
三角関数の逆関数のことを逆三角関数という。
\[\begin{split}
\arcsin x = \sin^{-1} x\\
\arccos x = \cos^{-1} x\\
\arctan x = \tan^{-1} x\\
\end{split}\]
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fig, ax = plt.subplots(figsize=[2,3])
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
ax.plot(np.sin(x), x, label=r"$x = \sin y$")
ax.plot(np.cos(x), x, label=r"$x = \cos y$")
ax.legend()
fig.show()
例：内積から角度を取り出す#
\[
\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\|\boldsymbol{a}\| \|\boldsymbol{b}\|}
\]
で、ここで\(\theta\)はラジアンであり、コサイン類似度\(\cos \theta = 0\)のときは\(\theta = \arccos \theta= \frac{\pi}{2} \approx 1.571\)
ラジアンを度（degree）に戻すには\(degree = \theta \times (180 / \pi)\)
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a = np.array([0, 1])
b = np.array([1, 0])
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot([0, a[0]], [0, a[1]], color="steelblue")
ax.plot([0, b[0]], [0, b[1]], color="steelblue")
ax.text(a[0] * 1.01, a[1] * 1.01, f"a={a}", color="steelblue")
ax.text(b[0] * 1.01, b[1] * 1.01, f"b={b}", color="steelblue")
cos_theta = (a @ b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)) # cos θ
theta = np.arccos(cos_theta)
degree = theta * (180 / np.pi)
ax.set(xlabel="x", ylabel="y", title=fr"$\cos \theta$ = {cos_theta:.1f}, $\theta= arccos \theta = ${theta:.3f}, degree={degree:.0f}")
fig.show()
Note
内積やコサイン類似度との関係 三角比の定義式
\[\begin{split}
\sin \theta = \frac{y}{r}\\
\cos \theta = \frac{x}{r}\\
\end{split}\]
の両辺に\(r\)を掛けると、
\[\begin{split}
y = r \sin \theta \\
x = r \cos \theta \\
\end{split}\]
となる。
2つのベクトル\(a, b\)のなす角度を\(\theta\)とすると、内積\(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}\)は
\[
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} =
||\boldsymbol{a}|| \ ||\boldsymbol{b}|| \cos \theta
\]
と定義される。
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a = np.array([4, 2])
b = np.array([1, 2])
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot([0, a[0]], [0, a[1]], color="steelblue")
ax.plot([0, b[0]], [0, b[1]], color="steelblue")
ax.text(a[0] * 1.01, a[1] * 1.01, f"a={a}", color="steelblue")
ax.text(b[0] * 1.01, b[1] * 1.01, f"b={b}", color="steelblue")
b_ = ((np.linalg.norm(b) / np.linalg.norm(a)) * a).astype(int)
ax.plot([0, b_[0]], [0, b_[1]], color="darkorange")
ax.plot([b[0], b_[0]], [b[1], b_[1]], color="darkorange", linestyle=":")
ax.text(1.5, 1.5, "|b| sin θ", color="dimgray")
ax.text(b_[0] * 1.07, b_[1] * 0.95, f"b'={b_}", color="darkorange")
ax.text(*(b_ * 0.5), "|b| cos θ ?", color="dimgray")
fig.show()
bからaへ垂線をたらして射影したものの長さは\(||b|| \sin \theta\)となる。これは単位円における\(y = r \sin \theta\)に相当する（ノルム\(||b||\)はベクトルの長さのため）
同様に\(x = r \cos \theta\)から\(y = ||b|| \cos \theta\)となる
はずだが…？
cos_theta = (a @ b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)) # cos θ
b_length = np.linalg.norm(b) * cos_theta # |b| cos θ
print(b_length, np.linalg.norm(b_)) ## 一致しない
1.7888543819998315 2.23606797749979
cos_theta = (a @ b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)) # cos θ
theta = np.arccos(cos_theta)
b_length = np.linalg.norm(b) * np.sin(theta) # |b| sin θ
print(b_length, np.linalg.norm(b - b_)) ## 一致しない
1.3416407864998743 1.4142135623730951
三角関数の基本的性質#
性質1
\[\begin{split}
\begin{aligned}
& \sin (-x)=-\sin x\\
& \cos (-x)=\cos x \\
& \tan (-x)=-\tan x
\end{aligned}
\end{split}\]
一般に \(f(-x)=-f(x)\) となる関数を 奇関数、 \(f(-x)=f(x)\) となる関数を 偶関数 という。
\(\sin x, \tan x\) は奇関数, \(\cos x\) は偶関数である
性質2（相互関係）
\[
\sin ^2 x+\cos ^2 x=1
\]
\[
\sin^2 \theta = \left(\frac{y}{r}\right)^2 = \frac{y^2}{r^2}
,\quad
\cos^2 \theta = \left(\frac{x}{r}\right)^2 = \frac{x^2}{r^2}
\]
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta
= \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2}
\]
三平方の定理より\(x^2 + y^2 = r^2\)なので
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \frac{x^2 + y^2}{r^2} = 1
\]
性質3 （加法定理）
\[\begin{split}
\begin{aligned}
& \sin (x \pm y)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y \\
& \cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y \\
& \tan (x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}
\end{aligned}
\end{split}\]
性質4（2倍角の公式）
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\sin 2 \theta & =2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 2 \theta & =1-2 \sin ^2 \theta \\
& =2 \cos ^2 \theta-1 \\
\tan 2 \theta & =\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta}
\end{aligned}
\end{split}\]
証明
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\sin 2 \theta
&= \sin (\theta+\theta) \\
&= \sin \theta \cos \theta+\cos \theta \sin \theta \quad (\because \text { 加法定理 })\\
&= 2 \sin \theta \cos \theta
\end{aligned}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\cos 2 \theta
&= \cos (\theta+\theta) \\
&= \cos \theta \cos \theta-\sin \theta \sin \theta \quad (\because \text { 加法定理 })\\
&= \cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta \\
&= 2 \cos ^2 \theta-1 \quad (\because \text { 相互関係 }) \\
&= 1-2 \sin ^2 \theta \quad (\because \text { 相互関係 })
\end{aligned}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\tan 2 \theta
&= \tan (\theta+\theta) \\
&= \frac{\tan \theta+\tan \theta}{1-\tan \theta \cdot \tan \theta} \quad (\because \text { 加法定理 })\\
&= \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta}
\end{aligned}
\end{split}\]