因数分解#
因数定理#
因数定理
多項式 \(f(x)\) について、 \(f(a)=0\) なら、 \(f(x)\) は \((x-a)\) を因数に持つ。
例：
\(f(x) = x^2 - 2x + 1\) に対して \(x = 1\)を代入すると
\[
f(1) = 1 - 2 + 1 = 0
\]
であり、実際\(f(x) = (x-1)^2\)である。
\(f(a) = 0\)となる\(a\)の求め方
\[
\pm \frac{定数項の約数}{最高次の項の約数}
\]
が候補となる
例：\(f(x) = x^2 -5x + 6\)
候補は
\[
\pm \frac{6}{1},\quad
\pm \frac{3}{1},\quad
\pm \frac{2}{1},\quad
\pm \frac{1}{1}
\]
となる。実際に関数に代入してみると
\[\begin{split}
\begin{align}
f(6) &= 36 - 30 + 6 = 12\\
f(-6) &= 36 + 30 + 6 = 72\\
f(3) &= 9 - 15 + 6 = 0\\
f(-3) &= 9 + 15 + 6 = -15\\
f(2) &= 4 - 10 + 6 = 0\\
f(-2) &= 4 + 10 + 6 = 20\\
f(1) &= 1 - 5 + 6 = 2\\
f(-1) &= 1 + 5 + 6 = 12\\
\end{align}
\end{split}\]
で\(x = 2, 3\)のとき\(f(x)=0\)となっている
組立除法#
組立除法は多項式 \(÷(x−p)\) の余りと商を素早く求める手法
の説明がわかりやすいので省く
たすきがけ法#
3次多項式の因数分解#
例：\(f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4\)を因数分解せよ
まず因数\((x-a)\)の\(a\)を探索する。候補は
\[
\pm \frac{4}{4},\quad
\pm \frac{4}{2},\quad
\pm \frac{4}{1},\quad
\pm \frac{2}{4},\quad
\pm \frac{2}{2},\quad
\pm \frac{2}{1},\quad
\pm \frac{1}{4},\quad
\pm \frac{1}{2},\quad
\pm \frac{1}{1}
\]
となる。
まず\(\pm 1\)について検討すると
\[\begin{split}
\begin{align}
f(1) &= 4 + 6 - 6 - 4 = 0\\
\end{align}
\end{split}\]
なので\((x-1)\)が因数のひとつであることがわかった。
次に、組立除法で\((4x^3 + 6x^2 - 6x - 4) / (x-1)\)を求める
\[\begin{split}
\begin{array}{ccc}
4 & 6 & -6 & -4\\
& 4 & 10 & 4\\
\hline
4 & 10& 4 & 0
\end{array}
\end{split}\]
より商の\(4x^2 + 10x + 4\)と余り\(0\)が得られるので
\[
f(x) = (x - 1)(4x^2 + 10x + 4)
\]
\(4x^2 + 10x + 4\)は、たすきがけ法などで解くと\((4x + 2)(x+2)\)なので
\[
f(x) = (x - 1)(4x + 2)(x + 2)
\]