練習問題メモ 22（内積空間）

定義 22.1

\(V\) をベクトル空間とし、 \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z} \in V, c \in \mathbb{R}\) とする。任意の \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\) に対して実数 \(\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle \in \mathbb{R}\) が定まり、次の \(1 \sim 4\) の条件を満たすとき、 \(\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle\) を \(\boldsymbol{x}\) と \(\boldsymbol{y}\) の 内積 、組 \((V,\langle, \rangle)\) を 内積空間 または計量ベクトル空間という。

1. \(\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle\)

2. \(\langle\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle+\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\rangle\)

3. \(\langle c \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=c\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle\)

4. \(\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle \geq 0\) で、 \(\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle=0\) ならば \(\boldsymbol{x}=\mathbf{0}\)

問1

\(f(t), g(t) \in \mathbb{R}[t]_n\) に対して、

\[ \langle f(t), g(t)\rangle=\int_{-1}^1 f(t) g(t) d t \]

とおく。このとき、 \(\left(\mathbb{R}[t]_n,\langle\rangle,\right)\) は内積空間であることを示せ。

1. \(\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle\)

\[ \langle f(t), g(t)\rangle =\int_{-1}^1 f(t) g(t) d t =\int_{-1}^1 g(t) f(t) d t = \langle g(t), f(t)\rangle \]

2. \(\langle\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle+\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\rangle\)

\(f'(t) \in \mathbb{R}[t]_n\)とする。

\[\begin{split} \langle f(t) + f'(t), g(t)\rangle = \int_{-1}^1 (f(t) + f'(t)) g(t) d t\\ = \int_{-1}^1 f(t) g(t) d t + \int_{-1}^1 f'(t) g(t) d t\\ = \langle f(t), g(t)\rangle + \langle f'(t), g(t)\rangle \end{split}\]

3. \(\langle c \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=c\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle\)

\[\begin{split} \langle c f(t), g(t)\rangle = \int_{-1}^1 c f(t) g(t) d t\\ = c \int_{-1}^1 f(t) g(t) d t = c \langle f(t), g(t)\rangle \end{split}\]

4. \(\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle \geq 0\) で、 \(\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle=0\) ならば \(\boldsymbol{x}=\mathbf{0}\)

\[ \langle f(t), f(t)\rangle = \int_{-1}^1 f(t)^2 d t \]

\(f(t)\)の二乗の積分であるため、\(\langle f(t), f(t)\rangle \geq 0\)であり、\(\langle f(t), f(t)\rangle=0\)ならば\(f(t)=0\)

問2

\(V\) を内積空間とする。定義 22.1 の内積の条件 \(1 \sim 3\) を用いて、任意の \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z} \in V\) に対して、

\[ \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\rangle=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle+\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle, \quad\langle\boldsymbol{x}, c \boldsymbol{y}\rangle=c\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle \]

が成り立つことを示せ。

\[\begin{split} \begin{aligned} \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\rangle &=\langle \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}\rangle \quad (条件1より)\\ &=\langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle + \langle \boldsymbol{z}, \boldsymbol{x}\rangle \quad (条件2より)\\ &=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle + \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle \quad (条件1より) \end{aligned} \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{aligned} \langle\boldsymbol{x}, c \boldsymbol{y}\rangle &= \langle c \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle \quad (条件1より)\\ &= c\langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle \quad (条件3より)\\ &= c\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle \quad (条件1より) \end{aligned} \end{split}\]

問3

\(\mathbb{R}^n\) の標準内積を考える。 \(A \in M_n(\mathbb{R})\) とすると、任意の \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n\) に対して、

\[ \langle\boldsymbol{x}, A \boldsymbol{y}\rangle=\left\langle A^T \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\right\rangle \]

が成り立つことを示せ。

抽象的な内積の定義のもとでの解き方はわからなかった

もし内積の具体的な計算に踏み込むことが許されるなら、つまり、\(\langle x, y \rangle := x^\top y\)とするなら

\[\begin{split} \begin{aligned} \langle x, Ay \rangle &= x^\top Ay \\ \langle A^\top x, y \rangle &= (A^\top x)^\top y = x^\top A y \end{aligned} \end{split}\]

よって

\[ \langle\boldsymbol{x}, A \boldsymbol{y}\rangle=\left\langle A^T \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\right\rangle \]

が成り立つ

問4

内積空間 \(V\) の部分空間 \(W\) に対して、 \(V\) の部分集合 \(W^{\perp}\) を

\[ W^{\perp}=\{\boldsymbol{x} \in V \mid \text { 任意の } \boldsymbol{y} \in W \text { に対して、 } \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=0\} \]

により定める。

1. \(W\) が \(V\) の部分空間であることの定義を書け。

2. \(W\) が \(V\) の部分空間であることと同値な 3 つの条件をかけ。

3. \(W^{\perp}\) は \(V\) の部分空間であることを示せ。

4. \(W \cup W^{\perp}=\{0\}\) が成り立つことを示せ。

5. \(\mathbb{R}^3\) の部分空間 \(W\) を

\[\begin{split} W=\left\{\left.c_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \right\rvert\, c_1, c_2 \in \mathbb{R}\right\} \end{split}\]

により定める。 \(\mathbb{R}^3\) の標準内積を考える時、 \(W^{\perp}\) を求めよ。

補足

一般に、内積空間 \(V\) の部分空間 \(W\) を考えると、 \(V\) の任意の元は \(x \in W\) および \(\boldsymbol{y} \in W^{\perp}\) を用いて、 \(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\) と一意的に表されることがわかる。このとこから、 \(W^{\perp}\) を \(W\) の直交補空間という。また、 \(V\) は \(W\) と \(W^{\perp}\) の直交直和であるといい、

\[ V=W \oplus W^{\perp} \]

と表す。

1. \(W\) が \(V\) の部分空間であることの定義を書け。

\(W\)が空集合ではなく、和と定数倍について閉じていること。

2. \(W\) が \(V\) の部分空間であることと同値な 3 つの条件をかけ。

1. \(0 \in W\)

2. \(x,y\in W \implies w + y \in W\)

3. \(c\in \mathbb{R}, x\in W \implies cx \in W\)

3. \(W^{\perp}\) は \(V\) の部分空間であることを示せ。

(1) \(\boldsymbol{0} \in V\) であり、 \(\langle \boldsymbol{0}, y \rangle = 0\) のため \(\boldsymbol{0} \in W^\perp\)

(2) \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2 \in W^{\perp}\) は、 \(\boldsymbol{y} \in W\)について、

\[ \langle \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y} \rangle + \langle \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y} \rangle = 0 \]

を満たす。標準内積の定義より

\[ \langle \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y} \rangle + \langle \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y} \rangle = \langle \boldsymbol{x}_1 + \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y} \rangle = 0 \]

であるため、\(\boldsymbol{x}_1 + \boldsymbol{x}_2 \in W^{\perp}\)

(3) \(\boldsymbol{x} \in W^{\perp}\) は、 \(\boldsymbol{y} \in W, c \in \mathbb{R}\)について、

\[ c \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = 0 \]

をみたす。標準内積の定義より

\[ c \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = \langle c \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = 0 \]

のため、\(c \boldsymbol{x} \in W^{\perp}\)

よって、(1) ~ (3)より、\(W^\perp\)は\(V\)の部分空間である

4. \(W \cap W^{\perp}=\{0\}\) が成り立つことを示せ。

\(x\in W, x \in W^{\perp}\)とおく。積集合の定義より、\(W\cap W^\perp = \{ x | x\in W \land x \in W^{\perp} \}\)

直交補空間\(W^\perp\)の定義より、\(x \in W^\perp\)はすべての\(x \in W\)と直交するので、

\[ \langle x, x \rangle = 0 \]

を満たす。内積の条件(4) （正値性）より、これは \(x = 0\) である。

よって \(W\cap W^\perp = \{ 0 \}\)

5. \(\mathbb{R}^3\) の部分空間 \(W\) を

\[\begin{split} W=\left\{\left.c_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \right\rvert\, c_1, c_2 \in \mathbb{R}\right\} \end{split}\]

により定める。 \(\mathbb{R}^3\) の標準内積を考える時、 \(W^{\perp}\) を求めよ。

\(x \in W^\perp, y \in W\)について、

\[\begin{split} x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} y = c_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ -c_1 - c_2 \end{pmatrix} \end{split}\]

とおく。\(x\)は\(y\)と直交するベクトルであるため、

\[\begin{split} \begin{aligned} \langle x, y \rangle &= 0\\ &= c_1 x_1 + c_2 x_2 - c_1 x_3 - c_2 x_3\\ &= c_1 (x_1 - x_3) + c_2 (x_2 - x_3) \end{aligned} \end{split}\]

\(\forall c_1, c_2\in \mathbb{R}\)についてこれが0になるには

\[\begin{split} x_1 - x_3 = 0\\ x_2 - x_3 = 0 \end{split}\]

である必要がある。

よって\(x_1 = x_2 = x_3\)のため、\(c\in \mathbb{R}\)とおいて

\[\begin{split} x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\ c\\c \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{split}\]

であるから、

\[\begin{split} W^\perp =\left\{\left. c \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\rvert\, c \in \mathbb{R}\right\} \end{split}\]