練習問題メモ 22（内積空間）

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練習問題メモ 22（内積空間）#

定義 22.1

V をベクトル空間とし、 x,y,z∈V,c∈R とする。任意の x,y に対して実数 ⟨x,y⟩∈R が定まり、次の 1∼4 の条件を満たすとき、 ⟨x,y⟩ を x と y の 内積 、組 (V,⟨,⟩) を 内積空間 または計量ベクトル空間という。

  1. ⟨y,x⟩=⟨x,y⟩

  2. ⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩

  3. ⟨cx,y⟩=c⟨x,y⟩

  4. ⟨x,x⟩≥0 で、 ⟨x,x⟩=0 ならば x=0

問1#

f(t),g(t)∈R[t]n に対して、

⟨f(t),g(t)⟩=∫−11f(t)g(t)dt

とおく。このとき、 (R[t]n,⟨⟩,) は内積空間であることを示せ。

  1. ⟨y,x⟩=⟨x,y⟩

⟨f(t),g(t)⟩=∫−11f(t)g(t)dt=∫−11g(t)f(t)dt=⟨g(t),f(t)⟩

  1. ⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩

f′(t)∈R[t]nとする。

⟨f(t)+f′(t),g(t)⟩=∫−11(f(t)+f′(t))g(t)dt=∫−11f(t)g(t)dt+∫−11f′(t)g(t)dt=⟨f(t),g(t)⟩+⟨f′(t),g(t)⟩

  1. ⟨cx,y⟩=c⟨x,y⟩

⟨cf(t),g(t)⟩=∫−11cf(t)g(t)dt=c∫−11f(t)g(t)dt=c⟨f(t),g(t)⟩

  1. ⟨x,x⟩≥0 で、 ⟨x,x⟩=0 ならば x=0

⟨f(t),f(t)⟩=∫−11f(t)2dt

f(t)の二乗の積分であるため、⟨f(t),f(t)⟩≥0であり、⟨f(t),f(t)⟩=0ならばf(t)=0

問2#

V を内積空間とする。定義 22.1 の内積の条件 1∼3 を用いて、任意の x,y,z∈V に対して、

⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩,⟨x,cy⟩=c⟨x,y⟩

が成り立つことを示せ。

⟨x,y+z⟩=⟨y+z,x⟩(条件1より)=⟨y,x⟩+⟨z,x⟩(条件2より)=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩(条件1より)
⟨x,cy⟩=⟨cy,x⟩(条件1より)=c⟨y,x⟩(条件3より)=c⟨x,y⟩(条件1より)

問3#

Rn の標準内積を考える。 A∈Mn(R) とすると、任意の x,y∈Rn に対して、

⟨x,Ay⟩=⟨ATx,y⟩

が成り立つことを示せ。

抽象的な内積の定義のもとでの解き方はわからなかった

もし内積の具体的な計算に踏み込むことが許されるなら、つまり、⟨x,y⟩:=x⊤yとするなら

⟨x,Ay⟩=x⊤Ay⟨A⊤x,y⟩=(A⊤x)⊤y=x⊤Ay

よって

⟨x,Ay⟩=⟨ATx,y⟩

が成り立つ

問4#

内積空間 V の部分空間 W に対して、 V の部分集合 W⊥ を

W⊥={x∈V∣ 任意の y∈W に対して、 ⟨x,y⟩=0}

により定める。

  1. W が V の部分空間であることの定義を書け。

  2. W が V の部分空間であることと同値な 3 つの条件をかけ。

  3. W⊥ は V の部分空間であることを示せ。

  4. W∪W⊥={0} が成り立つことを示せ。

  5. R3 の部分空間 W を

W={c1(10−1)+c2(01−1)|c1,c2∈R}

により定める。 R3 の標準内積を考える時、 W⊥ を求めよ。

補足

一般に、内積空間 V の部分空間 W を考えると、 V の任意の元は x∈W および y∈W⊥ を用いて、 x+y と一意的に表されることがわかる。このとこから、 W⊥ を W の直交補空間という。また、 V は W と W⊥ の直交直和であるといい、

V=W⊕W⊥

と表す。

  1. W が V の部分空間であることの定義を書け。

Wが空集合ではなく、和と定数倍について閉じていること。

  1. W が V の部分空間であることと同値な 3 つの条件をかけ。

  1. 0∈W

  2. x,y∈W⟹w+y∈W

  3. c∈R,x∈W⟹cx∈W

  1. W⊥ は V の部分空間であることを示せ。

(1) 0∈V であり、 ⟨0,y⟩=0 のため 0∈W⊥

(2) x1,x2∈W⊥ は、 y∈Wについて、

⟨x1,y⟩+⟨x2,y⟩=0

を満たす。標準内積の定義より

⟨x1,y⟩+⟨x2,y⟩=⟨x1+x2,y⟩=0

であるため、x1+x2∈W⊥

(3) x∈W⊥ は、 y∈W,c∈Rについて、

c⟨x,y⟩=0

をみたす。標準内積の定義より

c⟨x,y⟩=⟨cx,y⟩=0

のため、cx∈W⊥

よって、(1) ~ (3)より、W⊥はVの部分空間である

  1. W∩W⊥={0} が成り立つことを示せ。

x∈W,x∈W⊥とおく。積集合の定義より、W∩W⊥={x|x∈W∧x∈W⊥}

直交補空間W⊥の定義より、x∈W⊥はすべてのx∈Wと直交するので、

⟨x,x⟩=0

を満たす。内積の条件(4) （正値性）より、これは x=0 である。

よって W∩W⊥={0}

  1. R3 の部分空間 W を

W={c1(10−1)+c2(01−1)|c1,c2∈R}

により定める。 R3 の標準内積を考える時、 W⊥ を求めよ。

x∈W⊥,y∈Wについて、

x=(x1x2x3)
y=c1(10−1)+c2(01−1)=(c1c2−c1−c2)

とおく。xはyと直交するベクトルであるため、

⟨x,y⟩=0=c1x1+c2x2−c1x3−c2x3=c1(x1−x3)+c2(x2−x3)

∀c1,c2∈Rについてこれが0になるには

x1−x3=0x2−x3=0

である必要がある。

よってx1=x2=x3のため、c∈Rとおいて

x=(x1x2x3)=(ccc)=c(111)

であるから、

W⊥={c(111)|c∈R}
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