対角化の概要

対角化の概要#

対角化可能#

$V$ を $R$ 上の有限次元ベクトル空間、 $F$ を $V$ の線形変換とする。 $V$ の適当な基底 $B$ をとれば、それに関する $F$ の表現行列

[F]_{B}

が対角行列となるとき、 $F$ は 対角化可能 であるという。

また、行列 $A \in M_{n} (R)$ に対して、適当な正則行列 $P \in M (R)$ をとり、

\begin{array}{r} P^{- 1} A P = (\begin{array}{c} λ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋱ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{n} \end{array}) \end{array}

となるとき、 $A$ は $R$ において対角化可能 であるという。

対角化できると何が嬉しいか#

例： $n$ 乗の計算がラクになる

\begin{array}{r} \begin{aligned} (P^{- 1} A P)^{n} & = (P^{- 1} A \underset{I}{\underset{⏟}{P) (P^{- 1}}} A P) \dots (P^{- 1} A P) \\ = P^{- 1} A^{n} P \end{aligned} \end{array}

なので

\begin{array}{r} \begin{aligned} A^{n} & = P (P^{- 1} A P)^{n} P^{- 1} \\ = P (\begin{array}{c} λ_{1}^{n} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2}^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋱ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{p}^{n} \end{array}) P^{- 1} \end{aligned} \end{array}

となる

（参考：【大学数学】線形代数入門⑬(対角化：重解がない場合)【線形代数】 - YouTube）

例：2次曲線が「標準形」というシンプルな形になる

実数を係数とする $x, y$ の 2 次方程式

a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} + 2 d x + 2 e y + f = 0

は2次曲線とも呼ばれ、

\begin{array}{r} (\begin{array}{ll} x & y \end{array}) (\begin{array}{ll} a & b \\ b & c \end{array}) (\binom{x}{y}) + 2 (\begin{array}{ll} d & e \end{array}) (\binom{x}{y}) + f = 0 \end{array}

と表される。ここで、行列 $(\begin{array}{ll} a & b \\ b & c \end{array})$ は対称行列であることに注意しよう。対称行列の直交行列による対角化を用いると、上記のような方程式を標準形という、よりわかりやすい式で表すことができる。例えば、楕円、双曲線、放物線の標準形はそれぞれ

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, y = a x^{2}

で表される。ただし、 $a, b$ は 0 ではない定数である。

対角化の方法#

一部の実行列 → 固有ベクトルで対角化可能
実対称行列 → 直交行列により対角化可能（固有ベクトルが直交ベクトルになるので↑と手順は同じ）
上記で無理な場合 → ジョルダン標準形という対角行列に近い形に簡約化

対角化の概要

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対角化の概要#

対角化可能#

対角化できると何が嬉しいか#

対角化の方法#