ベクトル空間

ベクトル空間#

ベクトル空間：実数倍と和が定義されており、任意の元の線形結合がふたたび元となる集合

定義（ベクトル空間）

任意の元\(x, y \in L\)と任意の実数\(a, b\)について実数倍\(ax, by\)とそれらの和\(ax + by\)が定義されており、かならず\(ax + by \in L\)が成り立つような集合\(L\)を ベクトル空間（vector space） という。また\(L\)の元を ベクトル（vector） という

イメージ的には原点と矢印と、矢印同士の演算（和や積など）だけが決まっている。座標は固定ではない

整数集合\(\mathbb{Z}\)は実数を掛けて線形結合した結果が整数になるとは限らないため、ベクトル空間ではない。実数集合\(\mathbb{R}\)はベクトル空間である。

部分空間#

（定義）部分ベクトル空間

ベクトル空間 \(V\) の空でない部分集合 \(W\) が \(V\) における和とスカラー倍の演算によってベクトル空間になるとき、すなわち

\(W \neq \phi \quad\) ( \(\phi\) は空集合)
- 同値の別表現として\(\boldsymbol{0} \in W\)（\(W\)は零ベクトルを含む）が1番目の条件にくる定義もある
\(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in W \Rightarrow \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \in W\)
\(\boldsymbol{a} \in W, \quad \lambda \in \boldsymbol{R} \Rightarrow \lambda \boldsymbol{a} \in W\)

を満たすとき、 \(W\) を \(V\) の 部分空間 、または 部分べクトル空間 という。

部分空間の例

ベクトル空間\(V\)自身や\(V\)の零元だけからなる集合\(\{0\}\)
\(K\)上のベクトル空間\(V\)の任意の元\(v\)に対して、集合\(\{av | a \in K\}\)
\(\mathbb{R}^n\)に対し、原点を含む直線、平面、超平面
- 原点を含まない直線、平面、超平面は アフィン部分空間

部分空間の例：Im, Ker

Kerについては：

\(V, W\)をベクトル空間とし、\(f:V\to W\)を線形写像とする。

\(x_1, x_2\in \operatorname{Ker} f\)とする。Kerの定義\(\operatorname{Ker}f :=\{ x\in V \mid f(x) = 0 \}\)から

\[ f(x_1) = f(x_2) = 0 \]

線形写像の線形性から、\(c_1, c_2 \in \mathbb{R}\)について

\[ f(c_1 x_1 + c_2 x_2) = c_1 f(x_1) + c_2 f(x_2) = 0 \]

なので\(c_1 x_1 + c_2 x_2 \in \operatorname{Ker} f\) であり、和と定数倍に閉じていて空集合でないため\(\operatorname{Ker} f\)は\(V\)の部分空間である。

（詳細：線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明 | 数学の景色）

スパン（ベクトルが張る空間）#

ベクトル空間\(V\)から選ばれたいくつかのベクトル\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\)を用いて作られる部分集合

（定義）スパン

ベクトル\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\)（\(\in V\)）の線形結合\(a_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + a_n \boldsymbol{x}_n\)の集合

\[ W = \{ a_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + a_n \boldsymbol{x}_n | a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R} \} \]

は部分空間であり、これを\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\)の**スパン（span）**あるいは\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\)が張る空間といい

\[ \text{Span}\{ \boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n \} \]

と書く

（例）線形回帰モデルとの関わり#

\(\boldsymbol{x}_1\)を「教育を受けた年数」の観測値のベクトル、\(\boldsymbol{x}_2\)を「その職種の経験年数」の観測値のベクトル、\(\boldsymbol{y}\)を「賃金」の観測値のベクトルとしたとき、\(\text{Span}\{ \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2 \}\)に\(\boldsymbol{y}\)が属するならば

\[ 賃金 = a_1 \times 教育を受けた年数 + a_2 \times その職種の経験年数 \]

という関係が成り立つことになる

線形独立（1次独立）#

（定義）線形独立

\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n \in V\)について、係数\(c_1,\dots,c_n\)が

\[ c_1 = \cdots = c_n = 0 \]

であるとき、またそのときにのみ

\[ c_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + c_n \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0} \]

が成り立つとき、\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\)は 線形独立（linearly independent） あるいは 1次独立 であるという。

例えば、

\[\begin{split} \begin{align} \boldsymbol{x}_1 &= (1, 0, 1)^T\\ \boldsymbol{x}_2 &= (-1, 2, 3)^T \end{align} \end{split}\]

とする。

\[ c_1 \boldsymbol{x}_1 + c_2 \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{0} \]

とすると、第2成分が0になるためには\(c_2 = 0\)である必要がある。

そして\(c_1 \boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{0}\)となるためには、\(c_1 = 0\)である必要がある。

よって\(c_1 = c_2 = 0\)であるため、\(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\)は1️次独立である。

（定理）線形独立の同値な別表現

ベクトルの組\(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\)について、次の(1)と(2)は同値である

(1) \(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\) は線形独立である

(2) \(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\) の線形結合（1次結合）で表わされる元の表わし方は一意的である。すなわち、

\[ c_1 \boldsymbol{a}_1+\cdots+c_n \boldsymbol{a}_n=c_1^{\prime} \boldsymbol{a}_1+\cdots+c_n^{\prime} \boldsymbol{a}_n \]

ならば、 \(c_1=c_1^{\prime}, \cdots, c_n=c_n^{\prime}\) である。

例題

ベクトル

\[\begin{split} \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ \end{array}\right) \end{split}\]

が1次独立かどうか判定せよ。

行列のランク（行列\(A\)の列ベクトルの中から選び得る1次独立なベクトルの最大個数）を調べる方法がある。行列式がゼロでない（\(|A|\neq 0\)）なら\(\operatorname{rank}(A)=n, A\in\mathbb{R}^{n\times n}\)であるため、\(A\)が正方行列なら行列式がゼロかどうかを判定すればよい。

\[\begin{split} |A| = \left|\begin{array}{cc} a_1 & a_2\\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right| = 2^2 - 1^2 = 3 \neq 0 \end{split}\]

であるため1次独立である

線形従属（1次従属）#

（定義）線形従属

ベクトル\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n \in V\)と、すべてが0ではない係数\(c_1,\dots,c_n\)を用いて

\[ c_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + c_n \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0} \]

とできるとき、\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\)は 線形従属（linearly dependent） あるいは 1次従属 であるという。

線形従属の同値な別表現

ベクトルの組 \(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\) のうち1つのベクトルがそれ以外のベクトルの線形結合で表せるとき、

例えば\(\boldsymbol{x}_1\)を例に取ると

\[ \boldsymbol{x}_1 = c_2 \boldsymbol{x}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{x}_n \]

となるとき、\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\)は線形従属である

（例）線形写像（行列）を使っての例

異なる入力のベクトル\(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}'\)が同じ\(\boldsymbol{y}\)に移る、つまり単射でない場合、すなわち\(A \boldsymbol{x} = A\boldsymbol{x}'\)の場合、\(A\)を構成する列ベクトルたち\(\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_m\)は線形従属である