ベクトル空間

ベクトル空間#

ベクトル空間：実数倍と和が定義されており、任意の元の線形結合がふたたび元となる集合

定義（ベクトル空間）

任意の元 $x, y \in L$ と任意の実数 $a, b$ について実数倍 $a x, b y$ とそれらの和 $a x + b y$ が定義されており、かならず $a x + b y \in L$ が成り立つような集合 $L$ を ベクトル空間（vector space） という。また $L$ の元を ベクトル（vector） という

イメージ的には原点と矢印と、矢印同士の演算（和や積など）だけが決まっている。座標は固定ではない

整数集合 $Z$ は実数を掛けて線形結合した結果が整数になるとは限らないため、ベクトル空間ではない。実数集合 $R$ はベクトル空間である。

部分空間#

（定義）部分ベクトル空間

ベクトル空間 $V$ の空でない部分集合 $W$ が $V$ における和とスカラー倍の演算によってベクトル空間になるとき、すなわち

$W \neq ϕ$ ( $ϕ$ は空集合)
- 同値の別表現として $0 \in W$ （ $W$ は零ベクトルを含む）が1番目の条件にくる定義もある
$a, b \in W \Rightarrow a + b \in W$
$a \in W, λ \in R \Rightarrow λ a \in W$

を満たすとき、 $W$ を $V$ の 部分空間 、または 部分べクトル空間 という。

部分空間の例

ベクトル空間 $V$ 自身や $V$ の零元だけからなる集合 ${0}$
$K$ 上のベクトル空間 $V$ の任意の元 $v$ に対して、集合 ${a v | a \in K}$
$R^{n}$ に対し、原点を含む直線、平面、超平面
- 原点を含まない直線、平面、超平面は アフィン部分空間

部分空間の例：Im, Ker

Kerについては：

$V, W$ をベクトル空間とし、 $f : V \to W$ を線形写像とする。

$x_{1}, x_{2} \in Ker f$ とする。Kerの定義 $Ker f := {x \in V ∣ f (x) = 0}$ から

f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0

線形写像の線形性から、 $c_{1}, c_{2} \in R$ について

f (c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}) = c_{1} f (x_{1}) + c_{2} f (x_{2}) = 0

なので $c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} \in Ker f$ であり、和と定数倍に閉じていて空集合でないため $Ker f$ は $V$ の部分空間である。

（詳細：線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明 | 数学の景色）

スパン（ベクトルが張る空間）#

ベクトル空間 $V$ から選ばれたいくつかのベクトル $x_{1}, \dots, x_{n}$ を用いて作られる部分集合

（定義）スパン

ベクトル $x_{1}, \dots, x_{n}$ （ $\in V$ ）の線形結合 $a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n}$ の集合

W = {a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} | a_{1}, \dots, a_{n} \in R}

は部分空間であり、これを $x_{1}, \dots, x_{n}$ の**スパン（span）**あるいは $x_{1}, \dots, x_{n}$ が張る空間といい

Span {x_{1}, \dots, x_{n}}

と書く

（例）線形回帰モデルとの関わり#

$x_{1}$ を「教育を受けた年数」の観測値のベクトル、 $x_{2}$ を「その職種の経験年数」の観測値のベクトル、 $y$ を「賃金」の観測値のベクトルとしたとき、 $Span {x_{1}, x_{2}}$ に $y$ が属するならば

賃 金 = a_{1} \times 教 育 を 受 け た 年 数 + a_{2} \times そ の 職 種 の 経 験 年 数

という関係が成り立つことになる

線形独立（1次独立）#

（定義）線形独立

$x_{1}, \dots, x_{n} \in V$ について、係数 $c_{1}, \dots, c_{n}$ が

c_{1} = \dots = c_{n} = 0

であるとき、またそのときにのみ

c_{1} x_{1} + \dots + c_{n} x_{n} = 0

が成り立つとき、 $x_{1}, \dots, x_{n}$ は 線形独立（linearly independent） あるいは 1次独立 であるという。

例えば、

\begin{array}{r} \begin{aligned} x_{1} & = (1, 0, 1)^{T} \\ x_{2} & = (- 1, 2, 3)^{T} \end{aligned} \end{array}

とする。

c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} = 0

とすると、第2成分が0になるためには $c_{2} = 0$ である必要がある。

そして $c_{1} x_{1} = 0$ となるためには、 $c_{1} = 0$ である必要がある。

よって $c_{1} = c_{2} = 0$ であるため、 $x_{1}, x_{2}$ は1️次独立である。

（定理）線形独立の同値な別表現

ベクトルの組 $a_{1}, \dots, a_{n}$ について、次の(1)と(2)は同値である

(1) $a_{1}, \dots, a_{n}$ は線形独立である

(2) $a_{1}, \dots, a_{n}$ の線形結合（1次結合）で表わされる元の表わし方は一意的である。すなわち、

c_{1} a_{1} + \dots + c_{n} a_{n} = c_{1}^{'} a_{1} + \dots + c_{n}^{'} a_{n}

ならば、 $c_{1} = c_{1}^{'}, \dots, c_{n} = c_{n}^{'}$ である。

例題

ベクトル

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}) \end{array}

が1次独立かどうか判定せよ。

行列のランク（行列 $A$ の列ベクトルの中から選び得る1次独立なベクトルの最大個数）を調べる方法がある。行列式がゼロでない（ $| A | \neq 0$ ）なら $rank (A) = n, A \in R^{n \times n}$ であるため、 $A$ が正方行列なら行列式がゼロかどうかを判定すればよい。

\begin{array}{r} | A | = | \begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \end{array} | = | \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | = 2^{2} - 1^{2} = 3 \neq 0 \end{array}

であるため1次独立である

線形従属（1次従属）#

（定義）線形従属

ベクトル $x_{1}, \dots, x_{n} \in V$ と、すべてが0ではない係数 $c_{1}, \dots, c_{n}$ を用いて

c_{1} x_{1} + \dots + c_{n} x_{n} = 0

とできるとき、 $x_{1}, \dots, x_{n}$ は 線形従属（linearly dependent） あるいは 1次従属 であるという。

線形従属の同値な別表現

ベクトルの組 $x_{1}, \dots, x_{n}$ のうち1つのベクトルがそれ以外のベクトルの線形結合で表せるとき、

例えば $x_{1}$ を例に取ると

x_{1} = c_{2} x_{2} + \dots + c_{n} x_{n}

となるとき、 $x_{1}, \dots, x_{n}$ は線形従属である

（例）線形写像（行列）を使っての例

異なる入力のベクトル $x, x^{'}$ が同じ $y$ に移る、つまり単射でない場合、すなわち $A x = A x^{'}$ の場合、 $A$ を構成する列ベクトルたち $a_{1}, \dots, a_{m}$ は線形従属である