行列の階数（rank）

行列の階数（rank）#

$m \times n$ 行列 $A$ に対し、 $A$ が定義する線形写像

A : R^{n} \to R^{m}

の像空間の次元のことを ランク（階数） といい、 $rank A$ と表す。

rank A := \dim ℑ A = \dim Span {a_{1}, \dots, a_{n}}

（ただし $a_{1}, \dots, a_{n}$ は $A$ の列ベクトル）

さまざまなランクの定義#

$m \times n$ 行列 $A$ に対し、次の1~6の数は一致する

$A$ が定義する線形写像の像空間 $Im A$ の次元 $\dim Im A = \dim Span {a_{1}, \dots, a_{n}}$ （ただし $a_{1}, \dots, a_{n}$ は $A$ の列ベクトル）
$A$ の列ベクトルの中から選び得る1次独立なベクトルの最大個数
$A$ の行ベクトルの中から選び得る1次独立なベクトルの最大個数
$A$ の行ベクトルが生成する $R^{n}$ の部分空間の次元
$A$ の0でない小行列式の最大次数
$A$ を行基本変形で階段行列に変形したときの $0$ でない行の個数

1次独立なベクトルの最大個数#

例1

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}) \end{array}

のランクを求めるとする。列ベクトルを

A = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix})

とする。

c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} = 0

とすると、第2成分が0になるためには $c_{2} = 0$ である必要がある。

そして $c_{1} a_{1} = 0$ となるためには、 $c_{1} = 0$ である必要がある。

よって $c_{1} = c_{2} = 0$ であるため、 $a_{1}, a_{2}$ は1️次独立である。

$a_{1} + a_{2} = a_{3}$ であるため、

Span (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = Span (a_{1}, a_{2})

であるため、 $rank A = \dim Span (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = 2$

例2

\begin{array}{r} (\begin{array}{rrr} 2 & 0 & - 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) \end{array}

列ベクトルを $(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix})$ とする。

c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} + c_{3} a_{3} = 0

とすると、第4成分が $0$ になるためには $c_{2} = 0$ となり、第3成分をみることにより $c_{1} = 0$ であり、第2成分を見ることにより $c_{3} = 0$ であることがわかるから、 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ は1次独立で、ランクは3となる

小行列式#

$m \times n$ 行列 $A$ があるとし、 $p$ を $p \leq m, p \leq n$ を満たす正の整数とする。 $A$ の $p$ 個の行と列を任意に取り出して作った $p$ 次の正方行列の行列式を $A$ の $p$ 次の小行列式 という。

たとえば、

\begin{array}{r} A = [\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array}] \end{array}

に対して、 $2$ 次の小行列式は

\begin{array}{r} | \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} |, | \begin{array}{ll} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array} |, | \begin{array}{ll} a_{11} & a_{14} \\ a_{31} & a_{34} \end{array} | \end{array}

などである。

$m \times n$ 行列の $p$ 次の小行列式は全部で $_{m} C_{p} \times_{n} C_{p}$ 個存在する。

$A$ の $r$ 次の小行列式の中に $0$ でないものがあり、 $r + 1$ 次以上の小行列はすべて $0$ であるときの $r$ （0でない小行列式の最大次数）は $A$ の階数に等しい。

階段行列#

$m \times n$ 行列の第 $i$ 行について、第1列から順番に数えて初めて $0$ でない成分が出てくる列を第 $d_{i}$ 列とする。ただし、第 $i$ 行がすべて0のときは $d_{i} = n + 1$ と約束する。

d_{1} < d_{2} < \dots < d_{i} < d_{i + 1} = \dots = d_{n} = n + 1

のとき、これを階段行列 (step matrix) という。

図で書くと以下のような行列である

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} * & \dots & \dots & \dots \\ 0 & * & \dots & \dots \\ 0 & 0 & * & \dots \\ 0 & 0 & 0 & * \end{array}) \end{array}

ただし、 $*$ は任意の数。

階段行列の0でない行の個数はその行列のランクに等しい。

階段行列の例

\begin{array}{r} (\begin{array}{lllll} 0 & 7 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

※単位行列も階段行列である

例：

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{array}) \end{array}

第1行を $- 1$ 倍して第3行に加えると

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}

この階段行列の零でない行ベクトルの数は2なので、ランク（階数）は2

import numpy as np

A = np.array([
    [3, 0, 3],
    [0, 5, 0],
    [3, 0, 3]
])

np.linalg.matrix_rank(A)

階数標準形#

行列 $A$ を行基本変形，列基本変形により

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} I_{r} & O \\ O & O \end{array}) \end{array}

の形に変形できたとき、これを $A$ の 階数標準形 あるいは単に 標準形 という。

定理任意の $m \times n$ 行列 $A$ は基本変形を有限回繰り返して、標準形

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} I_{r} & O_{r, n - r} \\ O_{m - r, r} & O_{m - r, n - r} \end{array}) \end{array}

に変形することができる。ここで $r$ は $A$ のランクに等しい。

# 例
import numpy as np

A = np.array([
    [3, 0, 3],
    [0, 5, 0],
    [3, 0, 3]
])

np.linalg.matrix_rank(A)

# 1行目を-1倍して3行目に加える
A[2, :] += -1 * A[0, :]
A

array([[3, 0, 3],
       [0, 5, 0],
       [0, 0, 0]])

# 1列目を-1倍して3列目に加える
A[:, 2] += -1 * A[:, 0]
A

array([[3, 0, 0],
       [0, 5, 0],
       [0, 0, 0]])

# (1/3)倍、(1/5)倍して1にする
A[0, 0] = (1/A[0, 0]) * A[0, 0]
A[1, 1] = (1/A[1, 1]) * A[1, 1]
A

array([[1, 0, 0],
       [0, 1, 0],
       [0, 0, 0]])

参考文献#

線形代数Ｉ/ベクトル空間と線形写像 - 武内＠筑波大
川久保勝夫（2010）『線形代数学（新装版）』