練習問題メモ 18（表現行列）

練習問題メモ 18（表現行列）#

問1#

\begin{array}{r} \begin{aligned} a_{1}, a_{2}, a_{3} \in R^{3} 、 b_{1}, b_{2} \in R^{2} を \\ a_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), a_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}), a_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}), b_{1} = (\binom{1}{2}), b_{2} = (\binom{3}{4}) \end{aligned} \end{array}

により定めると、 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}, {b_{1}, b_{2}}$ はそれぞれ $R^{3}, R^{2}$ の基底である。線形写像 $f : R^{3} \to R^{2}$ を

\begin{array}{r} f (x) = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}) x (x \in R^{3}) \end{array}

により定める。基底 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}, {b_{1}, b_{2}}$ に関する $f$ の表現行列を求めよ。

表現行列は

(f (a_{1}), \dots, f (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) P

のような行列 $P$ のこと

今回は、

(\begin{matrix} f (a_{1}) & f (a_{2}) & f (a_{3}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} \end{matrix}) P

とおき、表現行列 $P$ 求める。

$(\begin{matrix} f (a_{1}) & f (a_{2}) & f (a_{3}) \end{matrix})$ については、

\begin{array}{r} f (a_{1}) = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}) \\ f (a_{2}) = (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}) \\ f (a_{3}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array}) \end{array}

なので

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} f (a_{1}) & f (a_{2}) & f (a_{3}) \end{array}) = (\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} \end{array}) P \\ ⟺ (\begin{array}{c} 6 & 10 & 2 \\ 2 & 0 & 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}) P \end{array}

を解いて $P$ を求めることになる

\begin{array}{r} B := (\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}) \end{array}

の逆行列を求める。拡大係数行列を

\begin{array}{r} (B | E) = (\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

とおいて変形すると、

1行目を2倍して2行目から引いて

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 1 \end{array}) \end{array}

2行目を-1/2倍して

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{2} \end{array}) \end{array}

2行目を3倍して1行目から引いて

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & - 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 1 & - \frac{1}{2} \end{array}) \end{array}

よって

\begin{array}{r} B^{- 1} = (\begin{array}{cc} - 2 & \frac{3}{2} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}) \end{array}

先程の式の両辺に左から乗じると

\begin{array}{r} B^{- 1} (\begin{array}{c} 6 & 10 & 2 \\ 2 & 0 & 6 \end{array}) = B^{- 1} (\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}) P \end{array}

すなわち

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} - 2 & \frac{3}{2} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}) (\begin{array}{c} 6 & 10 & 2 \\ 2 & 0 & 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 9 & - 20 & 5 \\ 5 & 10 & - 1 \end{array}) = P \end{array}

よって基底 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}, {b_{1}, b_{2}}$ に関する $f$ の表現行列は

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} - 9 & - 20 & 5 \\ 5 & 10 & - 1 \end{array}) \end{array}

import numpy as np

A = np.array([
    [-2, 3/2],
    [1, -1/2],
])

B = np.array([
    [6, 10, 2],
    [2, 0 , 6]
])


A @ B

array([[ -9., -20.,   5.],
       [  5.,  10.,  -1.]])

問2#

ベクトル空間 $V$ からベクトル空間 $W$ への線形写像全体の集合を $Hom (V, W)$ と表す。特に、 $W = R$ のとき、 $Hom (V, W)$ は問 17.6 で扱った $V$ の双対空間に一致する。 $f, g \in Hom (V, W), c \in R$ とし、 $V$ から $W$ への写像 $f + g, c f$ をそれぞれ

(f + g) (x) = f (x) + g (x), (c f) (x) = c f (x) (x \in V)

により定める。このとき、 $f + g, c f \in Hom (V, W)$ となり、 $Hom (V, W)$ はベクトル空間となる。なお、 $V$ の線形変換全体の集合 $Hom (V, W)$ は $End (V)$ とも表す（End は「自己準同型写像」を意味する英単語”endomorphism”を略したものである）。

${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}$ をそれぞれ $V, W$ の基底、 $A, B$ をそれぞれ基底 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}$ に関する $f, g$ の表現行列とする。

基底 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}$ に関する $f + g, c f$ の表現行列を求めよ。

$f + g$ の表現行列#

\begin{array}{r} (f (a_{1}), \dots, f (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) A \\ (g (a_{1}), \dots, g (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) B \end{array}

を足すと

\begin{array}{r} (f (a_{1}), \dots, f (a_{n})) + (g (a_{1}), \dots, g (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) A + (b_{1}, \dots, b_{m}) B \end{array}

整理すると

\begin{array}{r} (f (a_{1}) + g (a_{1}), \dots, f (a_{n}) + g (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) (A + B) \end{array}

$(f + g) (x) := f (x) + g (x)$ なので

\begin{array}{r} ((f + g) (a_{1}), \dots, (f + g) (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) (A + B) \end{array}

よって基底 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}$ に関する $f + g$ の表現行列は $A + B$

$c f$ の表現行列#

（ベクトル $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ を列ベクトルとする行列を $(a_{1}, \dots, a_{n})$ と表記する）

\begin{array}{r} (f (a_{1}), \dots, f (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) A \\ c (f (a_{1}), \dots, f (a_{n})) = c (b_{1}, \dots, b_{m}) A \\ (c f (a_{1}), \dots, c f (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) (c A) \\ ((c f) (a_{1}), \dots, (c f) (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) (c A) \end{array}

よって基底 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}$ に関する $c f$ の表現行列は $c A$

問3#

$U, V, W$ をべクトル空間、 $f : U \to V, g : V \to W$ を線形写像とする。 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ , ${b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}, {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{l}}$ をそれぞれ $U, V, W$ の基底、 $A$ を基底 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ , ${b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}$ に関する $f$ の表現行列、 $B$ を基底 ${b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}, {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{l}}$ に関する $g$ の表現行列とする。

基底 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{l}}$ に関する合成写像 $g \circ f$ の表現行列を求めよ。

(f (a_{1}), \dots, f (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) A

を列ベクトルごとにみると

f (a_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} b_{i} (j = 1, 2, \dots, n)

なので

\begin{array}{r} \begin{aligned} g \circ f (a_{j}) & = g (f (a_{j})) (合 成 写 像 の 定 義 よ り) \\ = g (\sum_{i = 1}^{m} a_{i j} b_{i}) \\ = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} g (b_{i}) (g が 線 形 写 像 の た め) \end{aligned} \end{array}

よって

(g \circ f (a_{1}), \dots, g \circ f (a_{n})) = (g (f (a_{1})), \dots, g (f (a_{n}))) = (g (b_{1}), \dots, g (b_{m})) A

仮定（問題文）より、 ${b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}}, {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{l}}$ に関する $g$ の行列表現は

(g (b_{1}), \dots, g (b_{n})) = (c_{1}, \dots, c_{l}) B

であるため、

\begin{array}{r} (g \circ f (a_{1}), \dots, g \circ f (a_{n})) \\ = (g (b_{1}), \dots, g (b_{m})) A = (c_{1}, \dots, c_{l}) B A \end{array}

より、基底 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{l}}$ に関する合成写像 $g \circ f$ の行列表現は $B A$

別解

(f (a_{1}), \dots, f (a_{n})) = (b_{1}, \dots, b_{m}) A

の両辺に $g$ を作用させると

\begin{array}{r} (g (f (a_{1})), \dots, g (f (a_{n}))) = (g (b_{1}), \dots, g (b_{m})) A \end{array}

となる。

(g (b_{1}), \dots, g (b_{m})) = (c_{1}, \dots, c_{l}) B

であるため、

\begin{array}{r} (g (f (a_{1})), \dots, g (f (a_{n}))) = (g (b_{1}), \dots, g (b_{m})) A \\ = (c_{1}, \dots, c_{l}) B A \end{array}

よって基底 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{l}}$ に関する合成写像 $g \circ f$ の行列表現は $B A$

練習問題メモ 18（表現行列）

Contents

練習問題メモ 18（表現行列）#

問1#

問2#

f+gの表現行列#

cfの表現行列#

問3#

$f + g$ の表現行列#

$c f$ の表現行列#