練習問題メモ 18（表現行列）

問1

\[\begin{split} \begin{aligned} & \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3 \in \mathbb{R}^3 、 \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2 \in \mathbb{R}^2 \text { を } \\ & \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right), \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{b}_1=\binom{1}{2}, \boldsymbol{b}_2=\binom{3}{4} \end{aligned} \end{split}\]

により定めると、 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}\) はそれぞれ \(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2\) の基底である。線形写像 \(f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) を

\[\begin{split} f(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \boldsymbol{x} \quad\left(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^3\right) \end{split}\]

により定める。基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}\) に関する \(f\) の表現行列を求めよ。

表現行列は

\[ \left(f\left(\boldsymbol{a}_1\right), \cdots, f\left(\boldsymbol{a}_n\right)\right) =\left(\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right) P \]

のような行列\(P\)のこと

今回は、

\[ \begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a}_1) & f(\boldsymbol{a}_2) & f(\boldsymbol{a}_3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2\end{pmatrix} P \]

とおき、表現行列\(P\)求める。

\(\begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a}_1) & f(\boldsymbol{a}_2) & f(\boldsymbol{a}_3)\end{pmatrix}\)については、

\[\begin{split} f(\boldsymbol{a}_1) = \left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix} \\ f(\boldsymbol{a}_2) = \begin{pmatrix}10 \\ 0\end{pmatrix} \\ f(\boldsymbol{a}_3) = \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix} \end{split}\]

なので

\[\begin{split} \begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a}_1) & f(\boldsymbol{a}_2) & f(\boldsymbol{a}_3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2\end{pmatrix} P \\ \iff \begin{pmatrix} 6& 10 & 2\\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix} P \end{split}\]

を解いて\(P\)を求めることになる

\[\begin{split} B:= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{split}\]

の逆行列を求める。拡大係数行列を

\[\begin{split} (B | E) = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

とおいて変形すると、

1行目を2倍して2行目から引いて

\[\begin{split} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -2 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

2行目を-1/2倍して

\[\begin{split} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \end{split}\]

2行目を3倍して1行目から引いて

\[\begin{split} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & \frac{3}{2}\\ 0 & 1 & 1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \end{split}\]

よって

\[\begin{split} B^{-1}= \left(\begin{array}{cc} -2 & \frac{3}{2}\\ 1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \end{split}\]

先程の式の両辺に左から乗じると

\[\begin{split} B^{-1} \begin{pmatrix} 6& 10 & 2\\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix} = B^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix} P \end{split}\]

すなわち

\[\begin{split} \begin{pmatrix} -2 & \frac{3}{2}\\ 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6& 10 & 2\\ 2 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -20 & 5\\ 5 & 10 & -1 \end{pmatrix} = P \end{split}\]

よって基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}\) に関する\(f\)の表現行列は

\[\begin{split} \begin{pmatrix} -9 & -20 & 5\\ 5 & 10 & -1 \end{pmatrix} \end{split}\]

import numpy as np

A = np.array([
    [-2, 3/2],
    [1, -1/2],
])

B = np.array([
    [6, 10, 2],
    [2, 0 , 6]
])


A @ B

array([[ -9., -20.,   5.],
       [  5.,  10.,  -1.]])

問2

ベクトル空間 \(V\) からベクトル空間 \(W\) への線形写像全体の集合を \(\operatorname{Hom}(V, W)\) と 表す。特に、 \(W=\mathbb{R}\) のとき、 \(\operatorname{Hom}(V, W)\) は問 17.6 で扱った \(V\) の双対空間に一致 する。 \(f, g \in \operatorname{Hom}(V, W), c \in \mathbb{R}\) とし、 \(V\) から \(W\) への写像 \(f+g, c f\) をそれぞれ

\[ (f+g)(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x}), \quad(c f)(\boldsymbol{x})=c f(\boldsymbol{x}) \quad(\boldsymbol{x} \in V) \]

により定める。このとき、 \(f+g, c f \in \operatorname{Hom}(V, W)\) となり、 \(\operatorname{Hom}(V, W)\) はベクトル 空間となる。なお、 \(V\) の線形変換全体の集合 \(\operatorname{Hom}(V, W)\) は \(\operatorname{End}(V)\) とも表す （End は「自己準同型写像」を意味する英単語”endomorphism”を略したものである）。

\(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}\) をそれぞれ \(V, W\) の基底、 \(A, B\) をそれぞれ 基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}\) に関する \(f, g\) の表現行列とする。

基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}\) に関する \(f+g, c f\) の表現行列を求めよ。

\(f+g\)の表現行列

\[\begin{split} (f(a_1), \cdots, f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A\\ (g(a_1), \cdots, g(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) B\\ \end{split}\]

を足すと

\[\begin{split} (f(a_1), \cdots, f(a_n)) + (g(a_1), \cdots, g(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A + (b_1, \cdots, b_m) B\\ \end{split}\]

整理すると

\[\begin{split} (f(a_1)+g(a_1), \cdots, f(a_n)+g(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) (A + B)\\ \end{split}\]

\((f+g)(\boldsymbol{x}):=f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x})\) なので

\[\begin{split} \big( (f+g)(a_1), \cdots, (f+g)(a_n) \big) =(b_1, \cdots, b_m) (A + B)\\ \end{split}\]

よって基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}\) に関する \(f+g\) の表現行列は\(A+B\)

\(cf\)の表現行列

（ベクトル\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)を列ベクトルとする行列を\((a_1,\cdots,a_n)\)と表記する）

\[\begin{split} (f(a_1), \cdots, f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A\\ c (f(a_1), \cdots, f(a_n)) = c (b_1, \cdots, b_m) A\\ (c f(a_1), \cdots, c f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) (c A)\\ \big( (c f)(a_1), \cdots, (c f)(a_n)\big) = (b_1, \cdots, b_m) (c A)\\ \end{split}\]

よって基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}\) に関する \(cf\) の表現行列は\(cA\)

問3

\(U, V, W\) をべクトル空間、 \(f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W\) を線形写像とする。 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\}\), \(\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}\) をそれぞれ \(U, V, W\) の基底、 \(A\) を基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\}\), \(\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\}\) に関する \(f\) の表現行列、 \(B\) を基底 \(\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}\) に関する \(g\) の表現行列とする。

基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}\) に関する合成写像 \(g \circ f\) の表現行列を求めよ。

\[ (f(a_1), \cdots, f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A \]

を列ベクトルごとにみると

\[ f\left(\boldsymbol{a}_j\right)=\sum_{i=1}^m a_{i j} \boldsymbol{b}_i \quad(j=1,2, \cdots, n) \]

なので

\[\begin{split} \begin{aligned} g\circ f(a_j) &= g(f(a_j)) \quad (合成写像の定義より)\\ &= g(\sum_{i=1}^m a_{i j} \boldsymbol{b}_i) \\ &= \sum_{i=1}^m a_{i j} g(\boldsymbol{b}_i) \quad (gが線形写像のため)\\ \end{aligned} \end{split}\]

よって

\[ \big( g \circ f(a_1), \cdots, g \circ f(a_n) \big) = \big( g (f(a_1)), \cdots, g(f(a_n)) \big) = \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) A \]

仮定（問題文）より、\(\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_m\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}\) に関する \(g\) の行列表現は

\[ (g(b_1), \cdots, g(b_n)) =(c_1, \cdots, c_l) B \]

であるため、

\[\begin{split} \big( g \circ f(a_1), \cdots, g \circ f(a_n) \big)\\ = \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) A = (c_1, \cdots, c_l) BA \end{split}\]

より、基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}\) に関する合成写像 \(g \circ f\) の行列表現は\(BA\)

別解

\[ (f(a_1), \cdots, f(a_n)) =(b_1, \cdots, b_m) A \]

の両辺に\(g\)を作用させると

\[\begin{split} \big( g(f(a_1)), \cdots, g(f(a_n)) \big) = \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) A\\ \end{split}\]

となる。

\[ \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) = (c_1, \cdots, c_l) B \]

であるため、

\[\begin{split} \big( g(f(a_1)), \cdots, g(f(a_n)) \big) = \big( g(b_1), \cdots, g(b_m) \big) A\\ = (c_1, \cdots, c_l) B A \end{split}\]

よって基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_l\right\}\) に関する合成写像 \(g \circ f\) の行列表現は\(BA\)