練習問題メモ 14（1次独立と1次従属）

練習問題メモ 14（1次独立と1次従属）#

あるベクトルを、別のベクトルの定数倍で表現できるとき1次従属

ベクトル $x_{1}, \dots, x_{n}$ について、係数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ が

a_{1} = \dots = a_{n} = 0

であるとき、またそのときにのみ

a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0

が成り立つとき、 $x_{1}, \dots, x_{n}$ は 線形独立（linearly independent） であるという。

ベクトルの組が1次独立でないとき、1次従属であるという。すなわち、

a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0

をみたす $a_{1}, \dots, a_{n}$ で、そのうち少なくとも1つが0でないものが存在するときにいう。

（ア）

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}), a_{3} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \end{array}

「行列 $A$ について、 $det (A) \neq 0$ ならフルランクであり1次独立になる」という性質を用いて、行列式で判定する

行列 $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ とする。

\begin{array}{r} det (A) = 2^{3} + 1 + 1 - 2 - 2 - 2 \\ = 10 - 6 = 4 \end{array}

であり $det (A) \neq 0$ のため $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ は1次独立である

（イ）

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}), a_{3} = (\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}), a_{4} = (\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} | \end{array}

行を入れ替えて

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} | \end{array}

1行目を2倍して3行目から引き、 1行目を3倍して4行目から引くと

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & - 6 & - 3 \\ 0 & 2 & - 8 & - 6 \end{array} | = 1 \cdot | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & - 6 & - 3 \\ 2 & - 8 & - 6 \end{array} | = 0 \end{array}

のためランク落ちしており1次従属

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}), a_{3} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}) \end{array}

が1次独立であるか1次従属であるかを調べよ。

係数を $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ とする。

\begin{array}{r} {\begin{cases} c_{2} - 2 c_{3} = 0 \\ c_{1} + 3 c_{3} = 0 \\ 2 c_{1} + 3 c_{2} = 0 \\ 3 c_{1} + 2 c_{2} + 5 c_{3} = 0 \end{cases} \end{array}

の連立方程式から

\begin{array}{r} c_{1} = - 3 c_{3} \\ c_{2} = 2 c_{3} \\ c_{3} = - \frac{1}{3} c_{1} \end{array}

が解となるので

仮に $c_{1} = 3$ とすると、 $c_{3} = - 1$ 、 $c_{2} = - 2$ になり

\begin{array}{r} c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} + c_{3} a_{3} \\ = 3 (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) - 2 (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}) - (\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 6 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \\ 5 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \end{array}

なので1次従属である

$W_{1}$ 、 $W_{2}$ をベクトル空間 $V$ の部分空間とする。

ベクトル空間 $V$ の部分集合 $W_{1} + W_{2}$ を

W_{1} + W_{2} = {x + y ∣ x \in W_{1}, y \in W_{2}}

と定めたものを $W_{1}$ と $W_{2}$ の和空間という。

$W_{1}$ 、 $W_{2}$ をベクトル空間 $V$ の部分空間とする。

W_{1} = {⟨ x_{1}, \dots, x_{m} ⟩}_{R}, W_{2} = {⟨ y_{1}, \dots, y_{n} ⟩}_{R}

と表されるとき、

W_{1} + W_{2} = {⟨ x_{1}, \dots, x_{m}, y_{1}, \dots, y_{n} ⟩}_{R}

を示せ。

$w_{1} \in W_{1}$ とする。

w_{1} = a_{1} x_{1} + \dots + a_{m} x_{m} (a_{1}, \dots, a_{m} \in R)

また $w_{2} \in W_{2}$ についても

w_{2} = b_{1} y_{1} + \dots + b_{n} y_{n} (b_{1}, \dots, b_{n} \in R)

である。

よって

w_{1} + w_{2} = a_{1} x_{1} + \dots + a_{m} x_{m} + b_{1} y_{1} + \dots + b_{n} y_{n} \in ⟨ x_{1}, \dots, x_{m}, y_{1}, \dots, y_{n} ⟩_{R} = W_{1} + W_{2}