問1
ベクトル\(x_1, x_2, \dots , x_m\)が1次独立、1次従属であることの定義を書け。
あるベクトルを、別のベクトルの定数倍で表現できるとき1次従属
ベクトル\(x_1,\dots, x_n\)について、係数\(a_1,\dots,a_n\)が
\[
a_1 = \cdots = a_n = 0
\]
であるとき、またそのときにのみ
\[
a_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + a_n \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0}
\]
が成り立つとき、\(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\)は 線形独立（linearly independent） であるという。
ベクトルの組が1次独立でないとき、1次従属であるという。すなわち、
\[
a_1 \boldsymbol{x}_1 + \cdots + a_n \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0}
\]
をみたす\(a_1,\dots,a_n\)で、そのうち少なくとも1つが0でないものが存在するときにいう。
次の（ア）、（イ）が1次独立であるか1次従属であるかを調べよ。
（ア）
\[\begin{split}
\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right), \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
2
\end{array}\right)
\end{split}\]
「行列\(A\)について、\(\det(A)\neq 0\)ならフルランクであり1次独立になる」という性質を用いて、行列式で判定する
行列\(A=(a_1,a_2,a_3)\)とする。
\[\begin{split}
\det(A) = 2^3 + 1 + 1
- 2 - 2 - 2\\
= 10 - 6 = 4
\end{split}\]
であり\(\det(A)\neq 0\)のため\(a_1,a_2,a_3\)は1次独立である
（イ）
\[\begin{split}
\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
3 \\
2
\end{array}\right), \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \boldsymbol{a}_4=\left(\begin{array}{l}
3 \\
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right)
\end{split}\]
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 & 3\\
1 & 0 & 3 & 2\\
2 & 3 & 0 & 1\\
3 & 2 & 1 & 0
\end{array}\right|
\end{split}\]
行を入れ替えて
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & 2\\
0 & 1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 0 & 1\\
3 & 2 & 1 & 0
\end{array}\right|
\end{split}\]
1行目を2倍して3行目から引き、
1行目を3倍して4行目から引くと
\[\begin{split}
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & 2\\
0 & 1 & 2 & 3\\
0 & 3 & -6 & -3\\
0 & 2 & -8 & -6
\end{array}\right|
= 1 \cdot
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3\\
3 & -6 & -3\\
2 & -8 & -6
\end{array}\right|
= 0
\end{split}\]
のためランク落ちしており1次従属
問2
\[\begin{split}
\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right), \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
3 \\
2
\end{array}\right), \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{c}
-2 \\
3 \\
0 \\
5
\end{array}\right)
\end{split}\]
が1次独立であるか1次従属であるかを調べよ。
係数を\(c_1,c_2,c_3\)とする。
\[\begin{split}
\begin{cases}
c_2 - 2 c_3= 0\\
c_1 + 3 c_3= 0\\
2 c_1 + 3 c_2 = 0\\
3 c_1 + 2 c_2 + 5 c_3 = 0
\end{cases}
\end{split}\]
の連立方程式から
\[\begin{split}
c_1 = -3 c_3\\
c_2 = 2 c_3\\
c_3 = - \frac{1}{3} c_1
\end{split}\]
が解となるので
仮に\(c_1 = 3\)とすると、\(c_3 = -1\)、\(c_2 = -2\)になり
\[\begin{split}
c_1 \boldsymbol{a}_1
+ c_2 \boldsymbol{a}_2
+ c_3 \boldsymbol{a}_3\\
= 3 \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)
- 2 \left(\begin{array}{l}1 \\0 \\3 \\2\end{array}\right)
- \left(\begin{array}{c}-2 \\3 \\0 \\5\end{array}\right)
\\
= \left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 6 \\ 9\end{array}\right)
- \left(\begin{array}{l}2 \\0 \\6 \\4\end{array}\right)
- \left(\begin{array}{c}-2 \\3 \\0 \\5\end{array}\right)
\\
= \left(\begin{array}{c}0 \\0 \\0 \\0\end{array}\right)
\end{split}\]
なので1次従属である
問3
\(W_1\)、\(W_2\)をベクトル空間\(V\)の部分空間とする。
和空間\(W_1+W_2\)の定義を書け
ベクトル空間\(V\) の部分集合 \(W_1+W_2\) を
\[
W_1+W_2=\left\{\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{x} \in W_1, \boldsymbol{y} \in W_2\right\}
\]
と定めたものを\(W_1\) と \(W_2\) の和空間という。
\(W_1\)、\(W_2\)をベクトル空間\(V\)の部分空間とする。
\(W_1\)、\(W_2\) がそれぞれ \(\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m, \boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_n \in V\) を用いて
\[
W_1=\left\langle\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m\right\rangle_{\mathbb{R}}, \quad W_2=\left\langle\boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_n\right\rangle_{\mathbb{R}}
\]
と表されるとき、
\[
W_1+W_2=\left\langle\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m, \boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_n\right\rangle_{\mathbb{R}}
\]
を示せ。
\(w_1 \in W_1\)とする。
\[
w_1 = a_1 x_1 + \cdots + a_m x_m
\quad (a_1, \dots, a_m \in \mathbb{R})
\]
また\(w_2 \in W_2\)についても
\[
w_2 = b_1 y_1 + \cdots + b_n y_n
\quad (b_1, \dots, b_n \in \mathbb{R})
\]
である。
よって
\[
w_1 + w_2
= a_1 x_1 + \cdots + a_m x_m + b_1 y_1 + \cdots + b_n y_n
\in \langle \boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m, \boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_n \rangle_{\mathbb{R}}
= W_1 + W_2
\]