練習問題メモ 15（基底と次元）

問1

同次連立1次方程式

\[\begin{split} \left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\mathbf{0} \end{split}\]

の解空間の次元と1組の基本解を求めよ。

1. 解の次元

前進消去により

\[\begin{split} \left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{split}\]

と変形できるため\(\operatorname{rank} A = 2\)である。

\(m\times n\)行列\(A\)の解の次元は\(m - \operatorname{rank} A\)であるため、\(4 - 2 = 2\)

2. 1組の基本解

解空間の基底を基本解という。

前進消去した係数行列を使った連立方程式は

\[\begin{split} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_3+x_4=0 \\ x_2+x_3-x_4=0 \end{array}\right. \end{split}\]

となる。

これを解くと

\[\begin{split} x_1=-x_3-x_4\\ x_2=-x_3+x_4 \end{split}\]

一般解は

\[\begin{split} \left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -x_3-x_4 \\ -x_3+x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right) \end{split}\]

未知変数\(x_3, x_4\)と係数の線形結合の形にして、解空間の基底（基本解）を求める

\[\begin{split} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{split}\]

基底（基本解）は

\[\begin{split} \left\{\left(\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \end{split}\]

問2

\[\begin{split} \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \end{split}\]

は\(\mathbb{R}^3\)の基底であることを示せ

\(A = (a_1, a_2, a_3)\)とすると、その行列式は

\[\begin{split} |A| = 1 \times \left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right| = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \end{split}\]

行列式がゼロでないため、ランク落ちがなく\(a_1,a_2,a_3\)は基底である

問3

\(a \in \mathbb{R}\) とし、 \(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_4 \in \mathbb{R}^4\) を

\[\begin{split} \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ a \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_4=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ a \end{array}\right) \end{split}\]

により定める。

\(\mathbb{R}^4\) が \(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_4\) で 生成されない ときの \(a\) の値を求めよ。

「生成されない」というのは\(a_1,\dots,a_4\)が基底でないことなので、\(A=(a_1,\dots, a_4)\)が\(|A|= 0\)のときの\(a\)を探る。

\[\begin{split} |A|= \left | \begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1 & 1\\ 1 & 1 & a & 1\\ 1 & 1 & 1 & a\\ \end{array} \right| \end{split}\]

余因子展開してもよいが、行列基本変形で簡単に解くこともできる

4行目を1~3行目から引いて

\[\begin{split} \left | \begin{array}{cccc} a-1 & 0 & 0 & 1-a\\ 0 & a-1 & 0 & 1-a\\ 0 & 0 & a-1 & 1-a\\ 1 & 1 & 1 & a\\ \end{array} \right| \end{split}\]

1~3列目を4列目に足して

\[\begin{split} \left | \begin{array}{cccc} a-1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & a-1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & a-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & a+3\\ \end{array} \right| \end{split}\]

三角行列の対角成分の積が行列式に等しいため

\[ |A| = (a-1)^3 (a+3) \]

よって

\[ a = -3, 1 \]

問4

実数を成分とする \(n\) 次の正方行列全体からなるベクトル空間 \(M_n(\mathbb{R})\) の部分集合 \(W\) を次の \(1 \sim 4\) により定めると、 \(W\) は \(M_n(\mathbb{R})\) の部分空間となる。それぞれの場合 について \(W\) の次元と 1 組の基底を求めよ。

1. \(W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R}) \mid X\right.\) は対称行列 \(\}\)

2. \(W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R}) \mid X\right.\) は交代行列 \(\}\)

3. \(W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R}) \mid X\right.\) は上三角行列 \(\}\)

4. \(W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr} X=0\right\}(\operatorname{tr} X\) は \(X\) のトレース)

回答例

1. \(W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R}) \mid X\right.\) は対称行列 \(\}\)

\(x_{ij}\)を行列\(X\in W\)の\((i,j)\)成分、\(E_{ij}\)を行列単位（\((i,j)\)要素だけが1、それ以外が0の行列）とする。 対称行列の成分は \(x_{i j}=x_{j i}(i, j=1,2, \cdots, n)\) をみたすので

\[ X=\sum_{i=1}^n x_{i i} E_{i i}+\sum_{1 \leq i<j \leq n} x_{i j}\left(E_{i j}+E_{j i}\right) \]

\(1 \leq i<j \leq n\)を満たす自然数\(i,j\)の組\((i,j)\)の個数は

\[ 1+2+\cdots+(n+1)=\frac{n(n-1)}{2} \]

なので、 \(\sum_{1 \leq i<j \leq n}\) は \(\frac{n(n-1)}{2}\) 個の項の和である。よって、 \(W\) の次元は

\[ \operatorname{dim} W=n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2} \]

また、 \(\left\{E_{i i}(i=1,2, \cdots, n), E_{i j}+E_{j i}(1 \leq i<j \leq n)\right\}\) は \(W\) の基底である。

2. \(W=\{X \in M_n(\mathbb{R}) \mid X は交代行列 \}\)

交代行列は

\[ A^{\top}=-A \quad\left(\Longleftrightarrow a_{i, j}=-a_{j, i} \quad(\forall i, j)\right) \]

を満たす行列であり、対角成分は0のため、

\(x_{ij}\)を行列\(X\in W\)の\((i,j)\)成分、\(E_{ij}\)を行列単位とすると

\[ X = \sum_{1 \leq i<j \leq n} x_{i j}\left(E_{i j}-E_{j i}\right) \]

となる。

\(\sum_{1 \leq i<j \leq n}\) は \(\frac{n(n-1)}{2}\) 個の項の和であるため、\(W\)の次元は

\[ \operatorname{dim} W=\frac{n(n-1)}{2} \]

である。

また、\(W\)の基底は\(\left\{ E_{i j}-E_{j i}(1 \leq i<j \leq n)\right\}\) である。

3. \(W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R}) \mid X\right.\) は上三角行列 \(\}\)

上三角行列は、\(x_{ij}\)を行列\(X\in W\)の\((i,j)\)成分、\(E_{ij}\)を行列単位とすると

\[ X = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} x_{i j} E_{ij} \]

となる。

\(\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}\) は \(\frac{n(n+1)}{2}\) 個の項の和であるため、\(W\)の次元は

\[ \operatorname{dim} W= \frac{n(n+1)}{2} \]

である。

また、\(W\)の基底は\(\left\{ E_{ij}(1 \leq i \leq j \leq n)\right\}\) である。

import numpy as np

X = np.zeros((5, 5))
n, m = X.shape
for i in range(n):
    for j in range(i, n):
        X[i, j] = 1
X

array([[1., 1., 1., 1., 1.],
       [0., 1., 1., 1., 1.],
       [0., 0., 1., 1., 1.],
       [0., 0., 0., 1., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 1.]])

4. \(W=\left\{X \in M_n(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr} X=0\right\}(\operatorname{tr} X\) は \(X\) のトレース)

対角成分の和が0になればいいだけなので、対角要素n個のうち1つが残りのn-1を打ち消すようになっていればいいことになる。

対角成分の和がゼロとなる\(n\)次正方行列\(X\)は、\(x_{ij}\)を行列\(X\in W\)の\((i,j)\)成分、\(E_{ij}\)を行列単位とすると

\[ X = \sum_{1\leq i, j \leq n, \ i \neq j } x_{i j} E_{ij} + \sum_{i=1}^{n-1} x_{ii} (E_{ii} - E_{nn}) \]

と表すことができる。

\(\sum_{1\leq i, j \leq n, \ i \neq j }\) は \(n\times n - n = n(n-1)\)個の項の和であり、\(\sum_{i=1}^{n-1}\)は\(n-1\)個のため（\(n\times n\)行列の1成分以外に対応するため）

\(W\)の次元は

\[ \dim W = n^2 - 1 \]

であり、基底は

\[ \{ E_{ij} (1\leq i, j \leq n \land i \neq j), E_{ii} - E_{nn} (i=1,2,\dots, n-1) \} \]

である。

import numpy as np
n = 3
def E(i, j):
    E = np.zeros((n, n))
    E[i, j] = 1
    return E

X = np.zeros((n, n))
for i in range(n-1):
    X += (E(i, i) - E(n-1, n-1))
print(f"{X}\ntr(X)={np.trace(X):.0f}")

[[ 1.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.]
 [ 0.  0. -2.]]
tr(X)=0