練習問題メモ 15（基底と次元）

練習問題メモ 15（基底と次元）#

問1#

同次連立1次方程式

\begin{array}{r} (\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \end{array}) (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}) = 0 \end{array}

の解空間の次元と1組の基本解を求めよ。

1. 解の次元

前進消去により

\begin{array}{r} (\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}

と変形できるため $rank A = 2$ である。

$m \times n$ 行列 $A$ の解の次元は $m - rank A$ であるため、 $4 - 2 = 2$

2. 1組の基本解

解空間の基底を基本解という。

前進消去した係数行列を使った連立方程式は

\begin{array}{r} {\begin{cases} x_{1} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0 \end{cases} \end{array}

となる。

これを解くと

\begin{array}{r} x_{1} = - x_{3} - x_{4} \\ x_{2} = - x_{3} + x_{4} \end{array}

一般解は

\begin{array}{r} (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}) = (\begin{matrix} - x_{3} - x_{4} \\ - x_{3} + x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) \end{array}

未知変数 $x_{3}, x_{4}$ と係数の線形結合の形にして、解空間の基底（基本解）を求める

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}) = x_{3} (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + x_{4} (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \end{array}

基底（基本解）は

\begin{array}{r} {(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})} \end{array}

問2#

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{c} \cos θ \\ \sin θ \\ 0 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{c} - \sin θ \\ \cos θ \\ 0 \end{array}), a_{3} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \end{array}

は $R^{3}$ の基底であることを示せ

$A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ とすると、その行列式は

\begin{array}{r} | A | = 1 \times | \begin{array}{ccc} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array} | = \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1 \end{array}

行列式がゼロでないため、ランク落ちがなく $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ は基底である

問3#

$a \in R$ とし、 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in R^{4}$ を

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 1 \\ 1 \end{array}), a_{3} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ a \\ 1 \end{array}), a_{4} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ a \end{array}) \end{array}

により定める。

$R^{4}$ が $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ で 生成されない ときの $a$ の値を求めよ。

「生成されない」というのは $a_{1}, \dots, a_{4}$ が基底でないことなので、 $A = (a_{1}, \dots, a_{4})$ が $| A | = 0$ のときの $a$ を探る。

\begin{array}{r} | A | = | \begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array} | \end{array}

余因子展開してもよいが、行列基本変形で簡単に解くこともできる

4行目を1~3行目から引いて

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccc} a - 1 & 0 & 0 & 1 - a \\ 0 & a - 1 & 0 & 1 - a \\ 0 & 0 & a - 1 & 1 - a \\ 1 & 1 & 1 & a \end{array} | \end{array}

1~3列目を4列目に足して

\begin{array}{r} | \begin{array}{cccc} a - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & a + 3 \end{array} | \end{array}

三角行列の対角成分の積が行列式に等しいため

| A | = (a - 1)^{3} (a + 3)

よって

a = - 3, 1

問4#

実数を成分とする $n$ 次の正方行列全体からなるベクトル空間 $M_{n} (R)$ の部分集合 $W$ を次の $1 \sim 4$ により定めると、 $W$ は $M_{n} (R)$ の部分空間となる。それぞれの場合について $W$ の次元と 1 組の基底を求めよ。

$W = {X \in M_{n} (R) ∣ X$ は対称行列 $}$
$W = {X \in M_{n} (R) ∣ X$ は交代行列 $}$
$W = {X \in M_{n} (R) ∣ X$ は上三角行列 $}$
$W = {X \in M_{n} (R) ∣ tr X = 0} (tr X$ は $X$ のトレース)

回答例

$W = {X \in M_{n} (R) ∣ X$ は対称行列 $}$

$x_{i j}$ を行列 $X \in W$ の $(i, j)$ 成分、 $E_{i j}$ を行列単位（ $(i, j)$ 要素だけが1、それ以外が0の行列）とする。対称行列の成分は $x_{i j} = x_{j i} (i, j = 1, 2, \dots, n)$ をみたすので

X = \sum_{i = 1}^{n} x_{i i} E_{i i} + \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i j} (E_{i j} + E_{j i})

$1 \leq i < j \leq n$ を満たす自然数 $i, j$ の組 $(i, j)$ の個数は

1 + 2 + \dots + (n + 1) = \frac{n (n - 1)}{2}

なので、 $\sum_{1 \leq i < j \leq n}$ は $\frac{n (n - 1)}{2}$ 個の項の和である。よって、 $W$ の次元は

\dim W = n + \frac{n (n - 1)}{2} = \frac{n (n + 1)}{2}

また、 ${E_{i i} (i = 1, 2, \dots, n), E_{i j} + E_{j i} (1 \leq i < j \leq n)}$ は $W$ の基底である。

$W = {X \in M_{n} (R) ∣ X は交代行列}$

交代行列は

A^{⊤} = - A (⟺ a_{i, j} = - a_{j, i} (\forall i, j))

を満たす行列であり、対角成分は0のため、

$x_{i j}$ を行列 $X \in W$ の $(i, j)$ 成分、 $E_{i j}$ を行列単位とすると

X = \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i j} (E_{i j} - E_{j i})

となる。

$\sum_{1 \leq i < j \leq n}$ は $\frac{n (n - 1)}{2}$ 個の項の和であるため、 $W$ の次元は

\dim W = \frac{n (n - 1)}{2}

である。

また、 $W$ の基底は ${E_{i j} - E_{j i} (1 \leq i < j \leq n)}$ である。

$W = {X \in M_{n} (R) ∣ X$ は上三角行列 $}$

上三角行列は、 $x_{i j}$ を行列 $X \in W$ の $(i, j)$ 成分、 $E_{i j}$ を行列単位とすると

X = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} x_{i j} E_{i j}

となる。

$\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}$ は $\frac{n (n + 1)}{2}$ 個の項の和であるため、 $W$ の次元は

\dim W = \frac{n (n + 1)}{2}

である。

また、 $W$ の基底は ${E_{i j} (1 \leq i \leq j \leq n)}$ である。

import numpy as np

X = np.zeros((5, 5))
n, m = X.shape
for i in range(n):
    for j in range(i, n):
        X[i, j] = 1
X

array([[1., 1., 1., 1., 1.],
       [0., 1., 1., 1., 1.],
       [0., 0., 1., 1., 1.],
       [0., 0., 0., 1., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 1.]])

$W = {X \in M_{n} (R) ∣ tr X = 0} (tr X$ は $X$ のトレース)

対角成分の和が0になればいいだけなので、対角要素n個のうち1つが残りのn-1を打ち消すようになっていればいいことになる。

対角成分の和がゼロとなる $n$ 次正方行列 $X$ は、 $x_{i j}$ を行列 $X \in W$ の $(i, j)$ 成分、 $E_{i j}$ を行列単位とすると

X = \sum_{1 \leq i, j \leq n, i \neq j} x_{i j} E_{i j} + \sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i i} (E_{i i} - E_{n n})

と表すことができる。

$\sum_{1 \leq i, j \leq n, i \neq j}$ は $n \times n - n = n (n - 1)$ 個の項の和であり、 $\sum_{i = 1}^{n - 1}$ は $n - 1$ 個のため（ $n \times n$ 行列の1成分以外に対応するため）

$W$ の次元は

\dim W = n^{2} - 1

であり、基底は

{E_{i j} (1 \leq i, j \leq n \land i \neq j), E_{i i} - E_{n n} (i = 1, 2, \dots, n - 1)}

である。

import numpy as np
n = 3
def E(i, j):
    E = np.zeros((n, n))
    E[i, j] = 1
    return E

X = np.zeros((n, n))
for i in range(n-1):
    X += (E(i, i) - E(n-1, n-1))
print(f"{X}\ntr(X)={np.trace(X):.0f}")

[[ 1.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.]
 [ 0.  0. -2.]]
tr(X)=0

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問2#

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