基底

基底#

（定義）基底

ベクトル空間 $V$ と、ベクトルの組 $a_{1}, \dots, a_{n} \in V$ が次の2つの条件を満たすとき、 $V$ の基底という

$a_{1}, \dots, a_{n}$ は線形独立（1次独立）である
$a_{1}, \dots, a_{n}$ は $V$ を生成する。すなわち、 $V$ の任意の元は $a_{1}, \dots, a_{n}$ の線形結合の形に書かれる（ $V = Span {a_{1}, \dots, a_{n}}$ )

例えば $L = R^{2}$ であれば、 $x_{1} = (1, 0)^{T}, x_{2} = (0, 1)^{T}$ という線形独立なベクトルを用いて

R^{2} = Span {x_{1}, x_{2}}

と書くことができる。 $\dim R^{2} = 2$ であり、 $x_{1}, x_{2}$ は $R^{2}$ の基底になる。

例題

$R^{2}$ において, ベクトルの組

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}) \end{array}

が $R^{2}$ の基底であるか判定せよ

まず、線形独立であるかを判断する。実数スカラー $c_{1}, c_{2}$ を用いて

c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2} = 0

とおいたときの連立方程式

\begin{array}{r} {\begin{cases} c_{1} + c_{2} & = 0 \\ c_{1} & = 0 \end{cases} \end{array}

を解くと $c_{1} = c_{2} = 0$ であるため、 $a_{1}, a_{2}$ は線形独立である。

次に、 $a_{1}, a_{2}$ が $R^{2}$ を形成するか調べる。

任意のベクトル $b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$ に対して、等式

c_{1} a_{1} + c_{2} + a_{2} = b

を満たす $c_{1}, c_{2}$ が存在するかどうか調べる。

この方程式を行列で表記すると

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \end{array}) \end{array}

であり、未知数 $c_{1}, c_{2}$ に解があるかどうかは行列式を用いて判定できる。

\begin{array}{r} | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} | = 0 - 1 = - 1 \end{array}

であり、行列式が零ではないため解が一意的に存在する。よって $a_{1}, a_{2}$ は $R^{2}$ の基底である。

（定義）次元

ベクトル空間 $V$ が $n$ 個の元から成る基底をもつならば、他のどんな基底も $n$ 個の元から成る。

このとき $V$ の次元は $n$ であるといい、 $\dim V$ で表す。

基底に関する例題#

例題

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{c} \cos θ \\ \sin θ \\ 0 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{c} - \sin θ \\ \cos θ \\ 0 \end{array}), a_{3} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \end{array}

は $R^{3}$ の基底であることを示せ

$A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ とすると、その行列式は

\begin{array}{r} | A | = 1 \times | \begin{array}{ccc} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array} | = \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1 \end{array}

行列式がゼロでないため、ランク落ちがなく $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ は基底である

基底変換と線形写像#

成分ベクトル#

ベクトル空間 $V$ の基底 $a_{1}, \dots, a_{n}$ に関して, $V$ の任意のベクトル $a$ は

\begin{array}{r} a = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{n} a_{n} = (\begin{array}{lll} a_{1} & \dots & a_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{array}

と一意的に表される。

このとき、

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{array}

を、ベクトル $a$ の基底 $a_{1}, \dots, a_{n}$ に関する成分あるいは 成分ベクトル という。

定理

ベクトル空間 $V$ の基底 $a_{1}, \dots, a_{n}$ に関して, $V$ の任意のベクトル $a$ が

\begin{array}{r} a = x_{1} a_{1} + \dots + x_{n} a_{n} = (\begin{array}{lll} a_{1} & \dots & a_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{array}

と表され、別の基底 $b_{1}, \dots, b_{n}$ を用いて

\begin{array}{r} a = y_{1} b_{1} + \dots + y_{n} b_{n} = (\begin{array}{lll} b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{array}) \end{array}

と表されるとき、

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) = P (\begin{array}{c} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{array}) \end{array}

が成り立つ。

ただし、 $P = (p_{i j})$ は正則行列であり、2つの基底の間の関係を

b_{j} = \sum_{i = 1}^{n} p_{i j} a_{i}

と表すものである。

線形写像の行列表現#

ベクトル空間のあいだの線形写像を行列で表し、行列の理論で解析することができる。

$V, W$ をベクトル空間， $v_{1}, \dots, v_{n}, w_{1}, \dots, w_{m}$ をそれぞれ $V, W$ の基底とする。ここで $n = \dim V, m = \dim W$ である。

線形写像 $f : V \to W$ があるとすると、 $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ は $W$ のベクトルであるため、 $W$ の基底の1次結合として一意的に

\begin{array}{r} \begin{array}{c} f (v_{1}) = a_{11} w_{1} + a_{21} w_{2} + \dots + a_{m 1} w_{m} \\ f (v_{2}) = a_{12} w_{1} + a_{22} w_{2} + \dots + a_{m 2} w_{m} \\ ⋮ \\ f (v_{n}) = a_{1 n} w_{1} + a_{2 n} w_{2} + \dots + a_{m n} w_{m} \end{array} \end{array}

と表すことができる。まとめて書けば

f (v_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i} (j = 1, 2, \dots, n)

である。

この係数 $a$ が作る行列の転置行列を $A_{f}$ と書くことにすると、この行列 $A_{f}$ は $f$ により一意的に決まる行列であり、

(f (v_{1}), \dots, f (v_{n})) = (w_{1}, \dots, w_{m}) A_{f}

と表すことができる。

さて、 $V$ の任意のベクトル $x$ を $(\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ とすると、こちらも基底の1次結合として表すことができるため

\begin{array}{r} x = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} = (v_{1}, \dots, v_{n}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{array}

である。そして $W$ のベクトル $y = f (x) = (\begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{matrix})$ があるとすると

\begin{array}{r} y = y_{1} w_{1} + \dots + y_{m} w_{m} = (w_{1}, \dots, w_{m}) (\begin{array}{c} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{array}) \end{array}

である。この式と、式

\begin{array}{r} \begin{aligned} y & = f (x) \\ = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} f (v_{j}) \\ = (f (v_{1}), \dots, f (v_{n})) (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \\ = (w_{1}, \dots, w_{m}) A_{f} (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

より、 $x$ と $y$ の成分ベクトルの間には

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{array}) = A_{f} (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{array}

という関係が成り立つ。

逆に, 任意の $m \times n$ 行列 $A = (a_{i j})$ が与えられたとする. $V$ の任意のべクトル $x = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} v_{j}$ に対して

\begin{array}{r} f (x) = (w_{1}, \dots, w_{m}) A (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{array}

とおくことにより、写像

f : V ⟶ W

が定義されるが、この写像は線形写像である。

線形写像 $f : V \to W$ に対して上の方法で定まる $m \times n$ 行列 $A$ を、 $V$ の基底 $v_{1}, \dots, v_{n}$ と $W$ の基底 $w_{1}, \dots, w_{m}$ に関する $f$ の 表現行列 または $f$ の 行列表示 または $f$ に 対応する行列 などという。

例題

次の線形写像 $f : R^{2} \to R^{2}$ を考える。

f (\binom{x}{y}) = (\binom{2 x + y}{x - y})

基底

v_{1} = (\binom{1}{1}), v_{2} = (\binom{1}{- 1})

に関する、この線形写像の表現行列を求めよ。

Step 1: 写像による変換後のベクトルを取得

基底ベクトルに線形写像を適用すると、

\begin{array}{r} f (v_{1}) = f (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) = f (\begin{array}{c} 2 \cdot 1 + 1 \\ 1 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}) \\ f (v_{2}) = f (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}) = f (\begin{array}{c} 2 \cdot 1 - 1 \\ 1 + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) \end{array}

である。

Step 2: 1次結合にして係数を求める

変換後のベクトル $f (v_{1})$ を基底の1次結合で表現すると

\begin{array}{r} f (v_{1}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}) = a_{11} v_{1} + a_{12} v_{2} = a_{11} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + a_{12} (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}) \end{array}

この連立1次方程式を解くと $a_{11} = 3 / 2, a_{12} = 3 / 2$

同様に、

\begin{array}{r} f (v_{2}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) = a_{21} v_{1} + a_{22} v_{2} = a_{21} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + a_{22} (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}) \end{array}

は $a_{21} = 3 / 2, a_{22} = - 1 / 2$

よって表現行列は

\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) \end{array}

例

f(v1) = [3. 0.]
f(v2) = [1. 2.]

import numpy as np

v1 = np.array([1, 1])
v2 = np.array([1, -1])

A = np.array([
    [3/2, 3/2],
    [3/2, -1/2],
])

print("f(v1) =", A[0, 0] * v1 + A[0, 1] * v2)
print("f(v2) =", A[1, 0] * v1 + A[1, 1] * v2)

f(v1) = [3. 0.]
f(v2) = [1. 2.]

A @ v1
A @ v2

array([0., 2.])

基底の変換#

基底の取り方を変えると、行列表現も変わる。

ベクトル空間 $V$ の 2つの基底 $v_{1}, \dots, v_{n}, v_{1}^{'}, \dots, v_{n}^{'}$ をとる。各 $v_{j}^{'}$ は $v_{1}, \dots, v_{n}$ の 1 次結合として表わされるから、

v_{j}^{'} = p_{1 j} v_{1} + p_{2 j} v_{2} + \dots + p_{n j} v_{n} (j = 1, \dots, n)

と書かれる。ここで $P = (p_{i j})$ とおくと、上の式は

(v_{1}^{'}, \dots, v_{n}^{'}) = (v_{1}, \dots, v_{n}) P

とまとめて表わされる。 $P$ は2つの基底のあいだの変換行列であり、正則行列である。

定理

$f : V \to W$ を線形写像とする。

$V$ の基底 $v_{1}, \dots, v_{n}$ と $W$ の基底 $w_{1}, \dots, w_{m}$ に関する $f$ の表現行列を $A$ 、

$V$ の基底 $v_{1}^{'}, \dots, v_{n}^{'}$ と $W$ の基底 $w_{1}^{'}, \dots, w_{m}^{'}$ に関する $f$ の表現行列を $B$ とする。

また、基底の変換の行列をそれぞれ $P, Q$ とする。すなわち

\begin{array}{r} (v_{1}^{'}, \dots, v_{n}^{'}) = (v_{1}, \dots, v_{n}) P, (w_{1}^{'}, \dots, w_{m}^{'}) = (w_{1}, \dots, w_{m}) Q \end{array}

とおく。

このとき

B = Q^{- 1} A P

が成り立つ。

定理

$n$ 次元ベクトル空間の $V$ について、線形写像 $f : V \to V$ があるとする。

$V$ の1組の基底 $u_{1}, \dots, u_{n}$ に関する $f$ の表現行列を $A$ 、

$V$ の他の基底 $v_{1}, \dots, v_{n}$ に関する $f$ の表現行列を $B$ とする。

そして, この 2 つの基底の変換の行列を $P$ とする. すなわち,

(v_{1}, \dots, v_{n}) = (u_{1}, \dots, u_{n}) P

このとき,

B = P^{- 1} A P

が成り立つ。

なお、

B = P^{- 1} A P

のような関係にある2つの行列 $A, B$ は相似（similar）、あるいは同値（equivalent）、または共役（conjugate）であるという。

基底

Contents

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基底に関する例題#

基底変換と線形写像#

成分ベクトル#

線形写像の行列表現#

基底の変換#