基底

基底#

（定義）基底

ベクトル空間\(V\)と、ベクトルの組\(\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n \in V\)が次の2つの条件を満たすとき、\(V\)の基底という

\(\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n\)は線形独立（1次独立）である
\(\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n\)は\(V\)を生成する。すなわち、\(V\)の任意の元は\(\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n\)の線形結合の形に書かれる（\(V=\operatorname{Span}\{\boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n\}\))

例えば\(L=\mathbb{R}^2\)であれば、\(\boldsymbol{x}_1 = (1, 0)^T, \boldsymbol{x}_2 = (0, 1)^T\)という線形独立なベクトルを用いて

\[ \mathbb{R}^2 = \text{Span}\{ \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2 \} \]

と書くことができる。\(\dim \mathbb{R}^2 = 2\)であり、\(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\)は\(\mathbb{R}^2\)の基底になる。

例題

\(\boldsymbol{R}^2\) において, ベクトルの組

\[\begin{split} \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ \end{array}\right) \end{split}\]

が\(\boldsymbol{R}^2\)の基底であるか判定せよ

まず、線形独立であるかを判断する。実数スカラー\(c_1,c_2\)を用いて

\[ c_1 \boldsymbol{a}_1 + c_2 \boldsymbol{a}_2 = \boldsymbol{0} \]

とおいたときの連立方程式

\[\begin{split} \begin{cases} c_1 + c_2 &= 0\\ c_1 &= 0 \end{cases} \end{split}\]

を解くと\(c_1=c_2=0\)であるため、\(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\)は線形独立である。

次に、\(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\)が\(\boldsymbol{R}^2\)を形成するか調べる。

任意のベクトル\(\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}\)に対して、等式

\[ c_1 \boldsymbol{a}_1 + c_2 + \boldsymbol{a}_2 = \boldsymbol{b} \]

を満たす\(c_1, c_2\)が存在するかどうか調べる。

この方程式を行列で表記すると

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1\\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix} \end{split}\]

であり、未知数\(c_1,c_2\)に解があるかどうかは行列式を用いて判定できる。

\[\begin{split} \left|\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right| = 0 - 1 = -1 \end{split}\]

であり、行列式が零ではないため解が一意的に存在する。よって\(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\)は\(\boldsymbol{R}^2\)の基底である。

（定義）次元

ベクトル空間\(V\)が\(n\)個の元から成る基底をもつならば、他のどんな基底も\(n\)個の元から成る。

このとき\(V\)の次元は\(n\)であるといい、\(\dim V\)で表す。

基底に関する例題#

例題

\[\begin{split} \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \end{split}\]

は\(\mathbb{R}^3\)の基底であることを示せ

\(A = (a_1, a_2, a_3)\)とすると、その行列式は

\[\begin{split} |A| = 1 \times \left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & - \sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right| = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \end{split}\]

行列式がゼロでないため、ランク落ちがなく\(a_1,a_2,a_3\)は基底である

基底変換と線形写像#

成分ベクトル#

ベクトル空間\(V\)の基底 \(a_1, \cdots, a_n\) に関して, \(V\) の任意のベクトル \(a\) は

\[\begin{split} \boldsymbol{a} =x_1 \boldsymbol{a}_1+x_2 \boldsymbol{a}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{a}_n =\left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{a}_1 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \end{split}\]

と一意的に表される。

このとき、

\[\begin{split}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \end{split}\]

を、ベクトル\(a\)の基底\(a_1, \cdots, a_n\)に関する成分あるいは 成分ベクトル という。

定理

ベクトル空間\(V\)の基底 \(a_1, \cdots, a_n\) に関して, \(V\) の任意のベクトル \(a\) が

\[\begin{split} \boldsymbol{a} =x_1 \boldsymbol{a}_1+\cdots+x_n \boldsymbol{a}_n =\left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{a}_1 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \end{split}\]

と表され、別の基底\(b_1, \dots, b_n\)を用いて

\[\begin{split} \boldsymbol{a}=y_1 \boldsymbol{b}_1+\cdots+y_n \boldsymbol{b}_n=\left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{b}_1 & \cdots & \boldsymbol{b}_n \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) \end{split}\]

と表されるとき、

\[\begin{split} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) \end{split}\]

が成り立つ。

ただし、\(P =(p_{ij})\)は正則行列であり、2つの基底の間の関係を

\[ \boldsymbol{b}_j=\sum_{i=1}^n p_{i j} \boldsymbol{a}_i \]

と表すものである。

線形写像の行列表現#

ベクトル空間のあいだの線形写像を行列で表し、行列の理論で解析することができる。

\(V, W\) をベクトル空間， \(v_1, \cdots, v_n, w_1, \cdots, w_m\) をそれぞれ \(V, W\) の基底とする。ここで\(n = \operatorname{dim} V, \ m=\operatorname{dim} W\)である。

線形写像\(f: V\to W\)があるとすると、\(f(v_1), \cdots, f(v_n)\)は\(W\)のベクトルであるため、\(W\)の基底の1次結合として一意的に

\[\begin{split} \begin{gathered} f\left(\boldsymbol{v}_1\right)=a_{11} \boldsymbol{w}_1+a_{21} \boldsymbol{w}_2+\cdots+a_{m 1} \boldsymbol{w}_m \\ f\left(\boldsymbol{v}_2\right)=a_{12} \boldsymbol{w}_1+a_{22} \boldsymbol{w}_2+\cdots+a_{m 2} \boldsymbol{w}_m \\ \vdots \\ f\left(\boldsymbol{v}_n\right)=a_{1 n} \boldsymbol{w}_1+a_{2 n} \boldsymbol{w}_2+\cdots+a_{m n} \boldsymbol{w}_m \end{gathered} \end{split}\]

と表すことができる。まとめて書けば

\[ f\left(\boldsymbol{v}_j\right)=\sum_{i=1}^m a_{i j} \boldsymbol{w}_i \quad(j=1,2, \cdots, n) \]

である。

この係数\(a\)が作る行列の転置行列を\(A_f\)と書くことにすると、この行列\(A_f\)は\(f\)により一意的に決まる行列であり、

\[ \left(f\left(\boldsymbol{v}_1\right), \cdots, f\left(\boldsymbol{v}_n\right)\right) =\left(\boldsymbol{w}_1, \cdots, \boldsymbol{w}_m\right) A_f \]

と表すことができる。

さて、\(V\)の任意のベクトル\(x\)を\(\displaystyle \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)\)とすると、こちらも基底の1次結合として表すことができるため

\[\begin{split} \boldsymbol{x}=x_1 \boldsymbol{v}_1+\cdots+x_n \boldsymbol{v}_n =\left(\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_n\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \end{split}\]

である。そして\(W\)のベクトル\(\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x}) =\left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array}\right)\)があるとすると

\[\begin{split} \boldsymbol{y}=y_1 \boldsymbol{w}_1+\cdots+y_m \boldsymbol{w}_m=\left(\boldsymbol{w}_1, \cdots, \boldsymbol{w}_m\right)\left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array}\right) \end{split}\]

である。この式と、式

\[\begin{split} \begin{aligned} \boldsymbol{y} &=f(\boldsymbol{x})\\ &=\sum_{j=1}^n x_j f\left(\boldsymbol{v}_j\right)\\ &=\left(f\left(\boldsymbol{v}_1\right), \cdots, f\left(\boldsymbol{v}_n\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \\ &=\left(\boldsymbol{w}_1, \cdots, \boldsymbol{w}_m\right) A_f\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \end{aligned} \end{split}\]

より、\(x\) と \(y\) の成分ベクトルの間には

\[\begin{split} \left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array}\right)=A_f\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \end{split}\]

という関係が成り立つ。

逆に, 任意の \(m \times n\) 行列 \(A=\left(a_{i j}\right)\) が与えられたとする. \(V\) の任意のべクトル \(\boldsymbol{x}=\sum_{j=1}^n x_j \boldsymbol{v}_j\) に対して

\[\begin{split} f(\boldsymbol{x})=\left(\boldsymbol{w}_1, \cdots, \boldsymbol{w}_m\right) A\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \end{split}\]

とおくことにより、写像

\[ f: V \longrightarrow W \]

が定義されるが、この写像は線形写像である。

線形写像\(f: V \to W\)に対して上の方法で定まる\(m\times n\)行列\(A\)を、\(V\)の基底\(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n\)と\(W\)の基底\(\boldsymbol{w}_1,\dots,\boldsymbol{w}_m\)に関する\(f\)の 表現行列 または \(f\)の 行列表示 または \(f\)に 対応する行列 などという。

例題

次の線形写像 \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) を考える。

\[ f \binom{x}{y}=\binom{2 x+y}{x-y} \]

基底

\[ \boldsymbol{v}_1 = \binom{1}{1}, \quad \boldsymbol{v}_2 = \binom{1}{-1} \]

に関する、この線形写像の表現行列を求めよ。

Step 1: 写像による変換後のベクトルを取得

基底ベクトルに線形写像を適用すると、

\[\begin{split} f(\boldsymbol{v}_1) = f \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 1 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \\ f(\boldsymbol{v}_2) = f \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 1 \\ 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{split}\]

である。

Step 2: 1次結合にして係数を求める

変換後のベクトル\(f(\boldsymbol{v}_1)\)を基底の1次結合で表現すると

\[\begin{split} f(v_1) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = a_{11} \boldsymbol{v}_1 + a_{12} \boldsymbol{v}_2 = a_{11} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_{12} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{split}\]

この連立1次方程式を解くと\(a_{11} = 3/2, a_{12} = 3/2\)

同様に、

\[\begin{split} f(v_2) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = a_{21} \boldsymbol{v}_1 + a_{22} \boldsymbol{v}_2 = a_{21} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_{22} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{split}\]

は\(a_{21} = 3/2, a_{22} = -1/2\)

よって表現行列は

\[\begin{split} \left(\begin{array}{cc} \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \end{split}\]

例

f(v1) = [3. 0.]
f(v2) = [1. 2.]

import numpy as np

v1 = np.array([1, 1])
v2 = np.array([1, -1])

A = np.array([
    [3/2, 3/2],
    [3/2, -1/2],
])

print("f(v1) =", A[0, 0] * v1 + A[0, 1] * v2)
print("f(v2) =", A[1, 0] * v1 + A[1, 1] * v2)

f(v1) = [3. 0.]
f(v2) = [1. 2.]

A @ v1
A @ v2

array([0., 2.])

基底の変換#

基底の取り方を変えると、行列表現も変わる。

ベクトル空間 \(V\) の 2つの基底 \(v_1, \cdots, v_n, v_1^{\prime}, \cdots, v_n^{\prime}\) をとる。各 \(v_j^{\prime}\) は \(v_1, \cdots, v_n\) の 1 次結合として表わされるから、

\[ \boldsymbol{v}_j^{\prime}=p_{1 j} \boldsymbol{v}_1+p_{2 j} \boldsymbol{v}_2+\cdots+p_{n j} \boldsymbol{v}_n \quad(j=1, \cdots, n) \]

と書かれる。ここで \(P=\left(p_{i j}\right)\) とおくと、上の式は

\[ \left(\boldsymbol{v}_1{ }^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{v}_n{ }^{\prime}\right)=\left(\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_n\right) P \]

とまとめて表わされる。\(P\)は2つの基底のあいだの変換行列であり、正則行列である。

定理

\(f: V \rightarrow W\) を線形写像とする。

\(V\) の基底 \(v_1, \cdots, \boldsymbol{v}_n\) と \(W\) の基底 \(w_1, \cdots, w_m\) に関する \(f\) の表現行列を \(A\)、

\(V\) の基底 \(v_1^{\prime}, \cdots, v_n{ }^{\prime}\) と \(W\) の基底 \(\boldsymbol{w}_1{ }^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{w}_m{ }^{\prime}\) に関する \(f\) の表現行列を \(B\) とする。

また、基底の変換の行列をそれぞれ \(P, Q\) とする。すなわち

\[\begin{split} \left(\boldsymbol{v}_1^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{v}_n{ }^{\prime}\right) = \left(\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_n\right) P, \quad \left(\boldsymbol{w}_1{ }^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{w}_m{ }^{\prime}\right)=\left(\boldsymbol{w}_1, \cdots, \boldsymbol{w}_m\right) Q \\ \end{split}\]

とおく。

このとき

\[ B=Q^{-1} A P \]

が成り立つ。

定理

\(n\)次元ベクトル空間の\(V\)について、線形写像\(f: V \rightarrow V\)があるとする。

\(V\)の1組の基底 \(\boldsymbol{u}_1, \cdots, \boldsymbol{u}_n\) に関する \(f\) の表現行列を \(A\)、

\(V\) の他の基底 \(\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_n\) に関する \(f\) の表現行列を \(B\) とする。

そして, この 2 つの基底の変換の行列を \(P\) とする. すなわち,

\[ \left(\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_n\right)=\left(\boldsymbol{u}_1, \cdots, \boldsymbol{u}_n\right) P \]

このとき,

\[ B=P^{-1} A P \]

が成り立つ。

なお、

\[ B=P^{-1} A P \]

のような関係にある2つの行列\(A, B\)は相似（similar）、あるいは同値（equivalent）、または共役（conjugate）であるという。

基底

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基底に関する例題#

基底変換と線形写像#

成分ベクトル#

線形写像の行列表現#

基底の変換#