双対空間#
ベクトル空間の 双対ベクトル空間 （dual vector space）あるいは 双対空間 （dual space）は、そのベクトル空間上の線形写像全体の成す空間
\(V, W\)を\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間とする。線形写像\(f: V \longrightarrow W\)全体の集合を \(\operatorname{Hom}_\mathbb{R}(V, W)\) と表す。すなわち、
\[
\operatorname{Hom}_\mathbb{R}(V, W)
= \{f: V \longrightarrow W \mid f \text { は線形写像 }\}
\]
である。
定義（双対空間）
\(f: V \longrightarrow \mathbb{R}\) の全体の集合 \(\operatorname{Hom}_\mathbb{R}(V, \mathbb{R})\) を \(V\)の 双対空間 とよび、\(V^*\)と表す。
\[
V^* = \operatorname{Hom}_\mathbb{R}(V, \mathbb{R})
= \{f: V \longrightarrow \mathbb{R} \mid f \text { は線形写像 }\}
\]
（Hom は数学的な構造を保つ写像に対して用いられる「準同型写像」を意味する英単語”homo morphism”を略したものである。）。