双対空間#

ベクトル空間の 双対ベクトル空間 （dual vector space）あるいは 双対空間 （dual space）は、そのベクトル空間上の線形写像全体の成す空間

$V,W$を$\mathbb{R}$上のベクトル空間とする。線形写像$f:V⟶W$全体の集合を ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}(V,W)$ と表す。すなわち、

$${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}(V,W)=\{f:V⟶W\mid f\text{ は線形写像 }\}$$

である。

定義（双対空間）

$f:V⟶\mathbb{R}$ の全体の集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}(V,\mathbb{R})$ を $V$の 双対空間 とよび、$V^{\ast }$と表す。

$$V^{\ast }={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}(V,\mathbb{R})=\{f:V⟶\mathbb{R}\mid f\text{ は線形写像 }\}$$

（Hom は数学的な構造を保つ写像に対して用いられる「準同型写像」を意味する英単語”homo morphism”を略したものである。）。