線形写像

線形写像#

線型写像（linear mapping）あるいは線型変換（linear transformation; 一次変換）は、ベクトルの和とスカラー倍という演算をもつ特別の写像のことを指す。

写像#

集合 $X$ の元に対して, 集合 $Y$ の元を定める対応 $f$ のことを写像といい

f : X ⟶ Y

と表わす。そのとき $X$ を $f$ の定義域、 $Y$ を $f$ の値域あるいは終域という。

写像 $f : X \to Y$ によって $x \in X$ に $y \in X$ が対応するとき、 $y$ を $f$ による $x$ の像といい、

y = f (x)

と書く。

$x$ が $X$ のすべての元をわたるとき、 $x$ の像 $f (x)$ 全体のつくる $Y$ の部分集合を、写像 $f$ の像といい, $Im f$ または $f (X)$ で表わす。すなわち、

Im f = f (X) = {f (x) ∣ x \in X}

である。

全射#

一般に $Im f$ は $Y$ の部分集合であるが、とくに

Im f = Y

のとき、 $f$ は全射であるという.

単射#

$x_{1}, x_{2} \in X$ 、 $x_{1} \neq x_{2}$ に対して $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ が成り立つとき、 $f$ は単射であるという。

$f$ が全射かつ単射のとき、 $f$ は 全単射 であるという。

恒等写像#

$x \in X$ に対して同じ元 $x$ を対応させる写像を 恒等写像 といい、通常

id : X \to X

で表す。

逆写像#

写像 $f : X \to Y$ が全単射ならば、写像 $f^{- 1} : Y \to X$ が存在して、

f \circ f^{- 1} = id f^{- 1} \circ f = id

を満たす。 $f^{- 1}$ を 逆写像 という。

線形写像#

（定義）線形写像

$n$ 次元ベクトル空間 $R^{n}$ の任意のベクトル $a, b$ と任意のスカラー $c$ に対して

$f (a + b) = f (a) + f (b)$
$f (c a) = c f (a)$

が成り立つとき、 $n$ 次元ベクトル空間 $R^{n}$ から $m$ 次元ベクトル空間 $R^{m}$ への写像

f : R^{n} \to R^{m}

を線形写像という。

標準基底#

$R^{n}$ 上の次のベクトルを考える

\begin{array}{r} e_{1} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}), e_{2} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}), \dots, e_{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{array}) \end{array}

$j = 1, 2, \dots, n$ としたとき、 $e_{j}$ の $j$ 番目の要素が $1$ 、それ以外のすべての要素が $0$ のベクトルである。

こうしたベクトルの組 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ を標準基底という。

標準基底の写り方で行列が定まる#

線形写像 $f : R^{n} \to R^{m}$ が与えられたとする。これらの像は $m$ 次元のベクトルになる。

\begin{array}{r} f (e_{j}) = (\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ ⋮ \\ a_{m j} \end{array}) \end{array}

$R^{m}$ の標準基底を $e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{m}^{'}$ とすると

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (e_{j}) & = (\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ ⋮ \\ a_{m j} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} a_{1 j} \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ a_{2 j} \\ ⋮ \\ 0 \end{array}) + \dots + (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ a_{m j} \end{array}) \\ = a_{1 j} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}) + a_{2 j} (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}) + \dots + a_{m j} (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{array}) \\ = a_{1 j} e_{1}^{'} + a_{2 j} e_{2}^{'} + \dots + a_{m j} e_{m}^{'} \\ = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} e_{i}^{'} \end{aligned} \end{array}

このような列ベクトルを順に並べると $m \times n$ 行列が定まる。この行列を $A$ と書くことにすると

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} f (e_{1}) & f (e_{2}) & \dots & f (e_{j}) & \dots & f (e_{n}) \end{array}) = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n m} \end{array}) \end{array}

つまり、線形写像 $f : R^{n} \to R^{m}$ が与えられると、それに応じて $m \times n$ 行列が定まる。

超ざっくりまとめると「行列は写像である」ということになる。

線形写像で行列が定まる

任意の線形写像 $f : R^{n} \to R^{m}$ に対して

f (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} e_{i}^{'}

によって $m \times n$ 行列

A = (a_{i j})

が定まる

線形写像はベクトルに行列をかけることにより与えられる#

$R^{n}$ のベクトルを $x$ で表すことにする。

\begin{array}{r} x = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n} \end{array}

$f (x)$ は、線形写像が満たしている線形性の条件を使って整理すると

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (x) & = f (x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n}) \\ = f (x_{1} e_{1}) + f (x_{2} e_{2}) + \dots + f (x_{n} e_{n}) \\ = x_{1} f (e_{1}) + x_{2} f (e_{2}) + \dots + x_{n} f (e_{n}) \\ = x_{1} (\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{array}) + x_{2} (\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{array}) + \dots + x_{n} (\begin{array}{c} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 j} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 j} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n j} & \dots & a_{n m} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \\ = A x \end{aligned} \end{array}

となる。

線形写像はベクトルに行列をかけることにより与えられる

$R^{n}$ の任意のベクトル $x$ に対して

f (x) = A x

が成り立つ

行列は線形写像を定義する#

逆に、行列が与えられると線形写像が定義される。

任意の $m \times n$ 行列 $A = (a_{i j})$ が与えられたとき、写像

f_{A} : R^{n} \to R^{m}

を

x \in R^{n}

に対して

f_{A} (x) = A x

によって定義する。

この写像 $f_{A}$ は以下を満たすため線形写像である

$f_{A} (x + y) = A (x + y) = A x + A y = f_{A} (x) + f_{A} (y)$
$f_{A} (c x) = A (c x) = c A x = c f_{A} (x)$

線形写像の合成＝表現行列の積#

2つの線形写像の合成に対応する行列は、それぞれの写像に対応する行列の積に等しい（そうなるように行列の積が定義されたらしい）

定理

$V, W, X$ をベクトル空間, $v_{1}, \dots, v_{n}, w_{1}, \dots, w_{m}, x_{1}, \dots, x_{l}$ をそれぞれ $V, W, X$ の基底とする。 2 つの線形写像

f : V ⟶ W, g : W ⟶ X

が与えられたとき, 上記基底に関して, $f, g$ に対応する行列をそれぞれ $A, B$ とすると，写像の合成

g \circ f : V ⟶ X

に対応する行列 $C$ は, 等式

C = B A

をみたす。

同型写像#

ベクトル空間 $V$ からベクトル空間 $W$ への線形写像 $f$ が全単射であるとき, $f$ を $V$ から $W$ への同型写像という。

また, 同型写像 $f : V \to W$ が存在するとき, $V$ は $W$ に同型であるといい, $V ≅ W$ と書く。

$f : V \to W$ が同型写像であると、 $f$ の逆写像 $f^{- 1} : W \to V$ が存在する。 $f^{- 1}$ も全単射であるが、必然的に線形写像になる。

参考文献#

線形代数Ｉ/ベクトル空間と線形写像 - 武内＠筑波大
川久保勝夫（2010）『線形代数学（新装版）』

線形写像

Contents

線形写像#

写像#

全射#

単射#

恒等写像#

逆写像#

線形写像#

標準基底#

標準基底の写り方で行列が定まる#

線形写像はベクトルに行列をかけることにより与えられる#

行列は線形写像を定義する#

線形写像の合成＝表現行列の積#

同型写像#

参考文献#