練習問題メモ 24（対称行列の対角化）

問1

次の対称行列 \(A\) を直交行列によって対角化せよ。

1. \(A=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 6\end{array}\right)\)

2. \(A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)\) ただし、 \(A\) の固有値 \(\lambda\) が \(\lambda=0\) (重解) 14 で、それぞれの

固有値に対する固有空間が

\[\begin{split} \begin{aligned} W(0) & =\left\{\left.c_1\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \right\rvert\, c_1, c_2 \in \mathbb{R}\right\} \\ W(14) & =\left\{\left.c\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \right\rvert\, c \in \mathbb{R}\right\} \end{aligned} \end{split}\]

であることを用いてよい。

1. \(A=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 6\end{array}\right)\)

まず固有値を求める

\[\begin{split} \begin{aligned} |A- \lambda E| &= (3-\lambda)(6-\lambda) - 2\cdot 2\\ &= 18 - 9\lambda + \lambda^2 - 4\\ &= 14 - 9\lambda + \lambda^2\\ &= (\lambda - 2)(\lambda - 7) \end{aligned} \end{split}\]

よって\(\lambda = 2, 7\)

続いて、固有ベクトルを求める。

\(\lambda=2\)の場合、

\[\begin{split} (A-\lambda E)x = 0\\ \iff \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 2\\ 2 & 6 - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \iff \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0\\ 2x_1 + 4x_2 = 0 \end{cases} \end{split}\]

よって\(x_1 = -2x_2\)より、\(c\in \mathbb{R}\)を用いて

\[\begin{split} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix} \end{split}\]

と表すことができる。固有空間は

\[\begin{split} V(2) =\left\{\left.c\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right) \right\rvert\, c \in \mathbb{R}\right\} \end{split}\]

となる。

\(\lambda=7\)の場合、

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 2\\ 2 & 6 - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \iff \begin{cases} -4 x_1 + 2x_2 = 0\\ 2x_1 - x_2 = 0 \end{cases} \end{split}\]

よって\(2 x_1 = x_2\)より、\(c\in \mathbb{R}\)を用いて

\[\begin{split} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} \end{split}\]

と表すことができる。固有空間は

\[\begin{split} V(7) =\left\{\left.c\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \right\rvert\, c \in \mathbb{R}\right\} \end{split}\]

となる。

固有値\(\lambda = 2, 7\)それぞれに属する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\)を

\[\begin{split} \boldsymbol{x}_1 = \begin{pmatrix} -2\\ 1\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{x}_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix} \end{split}\]

とおく。\(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\)にシュミットの直交化を行い\(\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2\)とすると、

\[\begin{split} \begin{aligned} \boldsymbol{p}_1 &= \frac{\boldsymbol{x}_1}{\|\boldsymbol{x}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

であり

\[ c = \langle \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{p}_1 \rangle = 1 \cdot \frac{-2}{\sqrt{5}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 0 \]

より

\[\begin{split} \boldsymbol{p}_2 = \frac{\boldsymbol{x}_2 - c \boldsymbol{p}_1 } {\| \boldsymbol{x}_2 - c \boldsymbol{p}_1 \| } = \frac{\boldsymbol{x}_2 } {\| \boldsymbol{x}_2 \| } = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix} \end{split}\]

\(P=(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2)\)とおいた行列

\[\begin{split} P= \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{split}\]

により\(A\)は対角化できる

\[\begin{split} \begin{aligned} P^{-1} A P &= \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{-4}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}}\\ \frac{7}{\sqrt{5}} & \frac{14}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{10}{5} & \frac{-4+4}{5}\\ \frac{-14+14}{5} & \frac{35}{5} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

個別に直交化する例

（これがいいのかはわからんが、対角化はできる）

\(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2\)は1次独立なので個別にシュミットの直交化をして\(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2\)とおくと

\[\begin{split} \begin{aligned} \boldsymbol{p}_1 &= \frac{\boldsymbol{x}_1}{\|\boldsymbol{x}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix} \\ \boldsymbol{p}_2 &= \frac{\boldsymbol{x}_2}{\|\boldsymbol{x}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

\(P=(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2)\)とおいた行列

\[\begin{split} P= \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{split}\]

により\(A\)は対角化できる

\[\begin{split} P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \end{split}\]

import sympy as sp

x1 = sp.Matrix([-2,1])
x2 = sp.Matrix([1,2])
A = sp.Matrix([
    [3, 2],
    [2, 6],
])

p1 = x1 / x1.norm()
c = x2.T @ p1
v2 = (x2 - c[0]*p1)
p2 = v2 / v2.norm()
P = sp.Matrix([p1, p2]).reshape(2, 2).T
P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{2 \sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5}\\\frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{2 \sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right]\end{split}\]

P.inv() @ A @ P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}2 & 0\\0 & 7\end{matrix}\right]\end{split}\]

P = sp.Matrix(sp.GramSchmidt([x1, x2])).reshape(2,2).T
P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}-2 & 1\\1 & 2\end{matrix}\right]\end{split}\]

P.inv() @ A @ P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}2 & 0\\0 & 7\end{matrix}\right]\end{split}\]

2. \(A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)\) ただし、 \(A\) の固有値 \(\lambda\) が \(\lambda=0\) (重解) 14 で、それぞれの

固有値に対する固有空間が

\[\begin{split} \begin{aligned} W(0) & =\left\{\left.c_1\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \right\rvert\, c_1, c_2 \in \mathbb{R}\right\} \\ W(14) & =\left\{\left.c\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \right\rvert\, c \in \mathbb{R}\right\} \end{aligned} \end{split}\]

であることを用いてよい。

固有ベクトルとして

\[\begin{split} x_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad x_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad x_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{split}\]

を用いる。

これらを直交化したベクトルを\(p_1, p_2, p_3\)とする。シュミットの直交化で求めていく。

(1) \(p_1\)を求める

\(\|x_1\| = \sqrt{|2|^2+|1|^2} = \sqrt{5}\)なので、

\[\begin{split} p_1 = \frac{x_1}{\|x_1\|} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

import sympy as sp

x1 = sp.Matrix([-2,1,0])
x2 = sp.Matrix([-3,0,1])
x3 = sp.Matrix([1,2,3])

p1 = x1 / x1.norm()
p1

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{2 \sqrt{5}}{5}\\\frac{\sqrt{5}}{5}\\0\end{matrix}\right]\end{split}\]

(2) \(p_2\)を求める

\[ c = \langle \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{p}_1 \rangle = -3 \cdot \frac{-2}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \]

\[\begin{split} \boldsymbol{x}_2 - c \boldsymbol{p}_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{6}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{-12}{5} \\ \frac{6}{5} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-15}{5} - \frac{-12}{5} \\ -\frac{6}{5} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5}\\ -\frac{6}{5} \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}\]

\[ \| \boldsymbol{x}_2 - c \boldsymbol{p}_1 \| = \sqrt{ \left|-\frac{3}{5}\right|^2 + \left|-\frac{6}{5}\right|^2 + 1^2 } = \sqrt{ \frac{9}{25} + \frac{36}{25} + \frac{25}{25} } = \sqrt{ \frac{70}{25} } = \frac{\sqrt{70}}{5} \]

\[\begin{split} \boldsymbol{p}_2 = \frac{\boldsymbol{x}_2 - c \boldsymbol{p}_1 } {\| \boldsymbol{x}_2 - c \boldsymbol{p}_1 \| } = \frac{5}{\sqrt{70}} \begin{pmatrix} -\frac{3}{5}\\ -\frac{6}{5} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{\sqrt{70}}\\ -\frac{6}{\sqrt{70}} \\ \frac{5}{\sqrt{70}} \end{pmatrix} \end{split}\]

c = (x2.T @ p1)[0]
p2 = (x2 - c * p1) / (x2 - c * p1).norm()
p2

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{3 \sqrt{70}}{70}\\- \frac{3 \sqrt{70}}{35}\\\frac{\sqrt{70}}{14}\end{matrix}\right]\end{split}\]

(3) \(p_3\)を求める

\[\begin{split} \begin{aligned} c_1 &= \langle x_3, p_1 \rangle = 1 \cdot \frac{-2}{\sqrt{5}} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 3 \cdot 0 = 0 \\ c_2 &= \langle x_3, p_2 \rangle =1 \cdot \frac{-3}{\sqrt{70}} + 2 \cdot \frac{-6}{\sqrt{70}} + 3 \cdot \frac{5}{\sqrt{70}} = \frac{-3 - 12 + 15}{\sqrt{70}} = 0 \\ \|x_3\| &= \sqrt{|1|^2+|2|^2+|3|^2} = \sqrt{14} \end{aligned} \end{split}\]

なので

\[\begin{split} \boldsymbol{p}_3 = \frac{ \boldsymbol{x}_3 - (c_1 \boldsymbol{p}_1 + c_2 \boldsymbol{p}_2) } {\| \boldsymbol{x}_3 - (c_1 \boldsymbol{p}_1 + c_2 \boldsymbol{p}_2)\| } = \frac{ \boldsymbol{x}_3 }{\| \boldsymbol{x}_3 \| } = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{split}\]

\(P=(p_1,p_2,p_3)\)とすると、この\(P\)

\[\begin{split} P= \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{3}{\sqrt{70}} & \frac{1}{\sqrt{14}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{6}{\sqrt{70}} & \frac{2}{\sqrt{14}}\\ 0 & \frac{5}{\sqrt{70}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix} \end{split}\]

により\(A\)は対角化できる

\[\begin{split} P^{-1} A P = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 14 \end{array}\right] \end{split}\]

p3 = x3 / x3.norm()
p3

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{14}}{14}\\\frac{\sqrt{14}}{7}\\\frac{3 \sqrt{14}}{14}\end{matrix}\right]\end{split}\]

P = sp.Matrix([p1, p2, p3]).reshape(3, 3).T
P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{2 \sqrt{5}}{5} & - \frac{3 \sqrt{70}}{70} & \frac{\sqrt{14}}{14}\\\frac{\sqrt{5}}{5} & - \frac{3 \sqrt{70}}{35} & \frac{\sqrt{14}}{7}\\0 & \frac{\sqrt{70}}{14} & \frac{3 \sqrt{14}}{14}\end{matrix}\right]\end{split}\]

P.inv()

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{2 \sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0\\- \frac{3 \sqrt{70}}{70} & - \frac{3 \sqrt{70}}{35} & \frac{\sqrt{70}}{14}\\\frac{\sqrt{14}}{14} & \frac{\sqrt{14}}{7} & \frac{3 \sqrt{14}}{14}\end{matrix}\right]\end{split}\]

A = sp.Matrix([
    [1,2,3],
    [2,4,6],
    [3,6,9]
])

P.inv() @ A @ P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 14\end{matrix}\right]\end{split}\]

P = sp.Matrix(sp.GramSchmidt([x1,x2,x3], orthonormal=True)).reshape(3,3).T
P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{2 \sqrt{5}}{5} & - \frac{3 \sqrt{70}}{70} & \frac{\sqrt{14}}{14}\\\frac{\sqrt{5}}{5} & - \frac{3 \sqrt{70}}{35} & \frac{\sqrt{14}}{7}\\0 & \frac{\sqrt{70}}{14} & \frac{3 \sqrt{14}}{14}\end{matrix}\right]\end{split}\]

簡易版

相異なる固有値に属する固有ベクトルたちは1次独立であり、別々に直交化できるため、ノルム

\[\begin{split} \begin{aligned} \|x_1\| &= \sqrt{|2|^2+|1|^2} = \sqrt{5}\\ \|x_2\| &= \sqrt{|3|^2+|1|^2} = \sqrt{10}\\ \|x_3\| &= \sqrt{|1|^2+|2|^2+|3|^2} = \sqrt{14}\\ \end{aligned} \end{split}\]

を用いて

\[\begin{split} \begin{aligned} p_1 &= \frac{x_1}{\|x_1\|} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \end{pmatrix}\\ p_2 &= \frac{x_2}{\|x_2\|} = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ p_3 &= \frac{x_3}{\|x_3\|} = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

とおく。これらを列ベクトルにもつ行列を\(P=(p_1,p_2,p_3)\)とおく。

\[\begin{split} P= \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{3}{14} & \frac{1}{\sqrt{14}}\\ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{14}}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix} \end{split}\]

\(A\)は\(P\)で対角化可能である。

import sympy as sp

a1 = sp.Matrix([-2,1,0])
a2 = sp.Matrix([-3,0,1])
a3 = sp.Matrix([1,2,3])

p1 = a1 / a1.norm()
p2 = a2 / a2.norm()
p3 = a3 / a3.norm()
P = sp.Matrix([p1, p2, p3]).reshape(3, 3).T
P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{2 \sqrt{5}}{5} & - \frac{3 \sqrt{10}}{10} & \frac{\sqrt{14}}{14}\\\frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & \frac{\sqrt{14}}{7}\\0 & \frac{\sqrt{10}}{10} & \frac{3 \sqrt{14}}{14}\end{matrix}\right]\end{split}\]

P.inv()

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{\sqrt{5}}{7} & \frac{5 \sqrt{5}}{7} & - \frac{3 \sqrt{5}}{7}\\- \frac{3 \sqrt{10}}{14} & - \frac{3 \sqrt{10}}{7} & \frac{5 \sqrt{10}}{14}\\\frac{\sqrt{14}}{14} & \frac{\sqrt{14}}{7} & \frac{3 \sqrt{14}}{14}\end{matrix}\right]\end{split}\]

A = sp.Matrix([
    [1,2,3],
    [2,4,6],
    [3,6,9]
])

P.inv() @ A @ P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 14\end{matrix}\right]\end{split}\]

Matrices (linear algebra) - SymPy 1.13.3 documentation

Gram–Schmidt process - Wikipedia

import sympy as sp

a1 = sp.Matrix([-2,1,0])
a2 = sp.Matrix([-3,0,1])
a3 = sp.Matrix([1,2,3])

P = sp.Matrix(sp.GramSchmidt([a1,a2,a3])).reshape(3,3).T
P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}-2 & - \frac{3}{5} & 1\\1 & - \frac{6}{5} & 2\\0 & 1 & 3\end{matrix}\right]\end{split}\]

P.inv() @ A @ P

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 14\end{matrix}\right]\end{split}\]

補足：対称行列の対角化の応用例

実数を係数とする \(x, y\) の 2 次方程式

\[ a x^2+2 b x y+c y^2+2 d x+2 e y+f=0 \]

は2次曲線とも呼ばれ、

\[\begin{split} \left(\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} a & b \\ b & c \end{array}\right)\binom{x}{y}+2\left(\begin{array}{ll} d & e \end{array}\right)\binom{x}{y}+f=0 \end{split}\]

と表される。ここで、行列 \(\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right)\) は対称行列であることに注意しよう。対称行列の直交行列による対角化を用いると、上記のような方程式を標準形という、よりわかりやすい式で表すことができる。例えば、楕円、双曲線、放物線の標準形 はそれぞれ

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \quad y=a x^2 \]

で表される。ただし、 \(a, b\) は 0 ではない定数である。

問2

直交行列の固有値は絶対値 1 の複素数であることを示せ。

\(A\)を\(n\)次の直交行列、\(x\)をゼロでない\(n\)次のベクトルとする。

\[ A x = \lambda x \]

のノルムを取ると

\[\begin{split} \begin{aligned} \| A x \| &= \| \lambda x \|\\ \| A x \| &= |\lambda| \| x \| \quad (ノルムの定数倍についての定理 \|c x\| = |c| \|x\| より)\\ \|x\| &= |\lambda| \| x \| \quad (直交変換は長さを保つ、すなわち \|A x\| = \|x\| のため)\\ \end{aligned} \end{split}\]

よって\(|\lambda| = 1\)となる。

固有値は一般には複素数となるため、直交行列の固有値は絶対値1の複素数である