固有ベクトルによる対角化

固有ベクトルによる対角化#

$A \in M_{n} (R)$ が $R$ において対角化可能であるとき、 $A$ を対角化する行列 $P$ 、すなわち、 $P^{- 1} A P$ が対角行列となるような正則行列 $P$ は、固有ベクトルによって求められる。

$A$ の（ $R$ における） $n$ 個の1次独立な固有ベクトルを $x_{1}, \dots x_{n}$ とし、それらを列ベクトルとする行列を $P = (x_{1}, \dots x_{n})$ とすれば、

\begin{array}{r} P^{- 1} A P = (\begin{array}{c} λ_{1} \\ λ_{2} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) \end{array}

となる。ここで、 $A x_{1} = λ_{1} x_{1}, A x_{2} = λ_{2} x_{2}, \dots, A x_{n} = λ_{n} x_{n}$ である。

Tip

\begin{array}{r} A P = A (\begin{array}{c} x_{1} & \dots & x_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} A x_{1} & \dots & A x_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} λ_{1} x_{1} & \dots & λ_{n} x_{n} \end{array}) = P (\begin{array}{c} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) \end{array}

となるため、

\begin{array}{r} P^{- 1} A P = P^{- 1} P (\begin{array}{c} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) \end{array}

例#

import sympy as sp
A = sp.Matrix([
    [1, 3],
    [2, 2]
])
values = []
vectors = []
for e in A.eigenvects():
    values.append(e[0])
    vectors.append(e[2][0])
print(f"λ =", values)

# 固有ベクトルを列ベクトルとして作った行列
P = sp.Matrix(vectors).reshape(*A.shape)
print("P =")
P

λ = [-1, 4]
P =

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] \end{array}

# (λ1 x1, λ2 x2)
sp.Matrix([values[0] * vectors[0], values[1] * vectors[1]]).reshape(*A.shape).T

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} \frac{3}{2} & 4 \\ - 1 & 4 \end{array}] \end{array}

# P @ (λを対角要素にもつ行列)
P @ sp.diag(*values)

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} \frac{3}{2} & 4 \\ - 1 & 4 \end{array}] \end{array}

P.inv() @ A @ P

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}] \end{array}

なぜ固有ベクトルで対角化できるのかについては、いくつかの定理が関わる。

対角化に関する定理#

定理

$A$ を $n$ 次正方行列、 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ を $A$ の固有値, $x_{1}, \dots, x_{n}$ をそれぞれに属する固有べクトルとする。（ここで $λ_{i}$ は異なるとは仮定しない。）

Q = (x_{1}, \dots, x_{n})

とすると、

\begin{array}{r} A Q = Q (\begin{array}{lll} λ_{1} & O \\ ⋱ \\ O & λ_{n} \end{array}) \end{array}

が成り立つ。

逆に、 $n$ 次正方行列 $Q$ と $ν_{i} (i = 1, \dots, n)$ が存在して

\begin{array}{r} A Q = Q (\begin{array}{lll} ν_{1} & O \\ ⋱ \\ O & ν_{n} \end{array}) \end{array}

をみたし、 $Q$ の各列ベクトルがゼロベクトルでないとすると、 $ν_{i}$ は $A$ の固有値で、 $Q$ の第 $i$ 列は固有値 $ν_{i}$ に属する固有ベクトルである。

対角化可能の判定#

定理（相異なる固有値に属する固有ベクトルは1次独立）

$V$ をベクトル空間、 $F$ を $V$ の線型変換とする。（ここでは $V$ は有限次元とは仮定しない。） $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ を $F$ の相異なる固有値とすれば、それらに属する固有ベクトル $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{s}$ は 1 次独立である。

定理（相異なる固有値に属する固有ベクトル ⇒ 対角化可能）

$V$ が $n$ 次元ベクトル空間で、その線型変換 $F$ が $n$ 個の相異なる固有値 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ をもつとする。

そのとき、それらに属する固有ベクトル $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ は $V$ の基底をなし、したがって $F$ は対角化可能である。

定理（相異なる固有値に属する固有ベクトル ⇒ 対角化可能）

$n$ 次正方行列 $A$ が相異なる $n$ 個の固有値 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ をもつならば、 $A$ はこれらを対角成分にもつ対角行列に対角化可能である。

すなわち、ある正則行列 $P$ があって、

\begin{array}{r} P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} λ_{1} & O \\ ⋱ \\ O & λ_{n} \end{array}) \end{array}

となる。

固有値の重複度（重解）と固有空間の次元数#

定理

$A \in M_{n} (R)$ 、 $λ$ を $A$ の1つの固有値とするとき、

$λ$ に属する固有空間の次元 $\leq$ $λ$ の重複度

が成り立つ

例

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{array}

は、三角行列なので

\begin{array}{r} det (A - λ I) = det (\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}) = (1 - λ)^{2} \end{array}

と、 $λ = 1$ だけが固有値で、その重複度は2である。固有空間 $V (1)$ は

V (1) = {c (\binom{1}{0}) | c \in R}

この空間の次元は1である。

定理

$A \in M_{n} (R)$ の相異なる固有値を $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ とし、 $λ_{i}$ に属する固有空間を $V (λ_{i})$ とすると、

\sum_{i = 1}^{s} \dim V (λ_{i}) \leq n

が成り立つ

対角化の条件#

対角化可能であることと同値の条件がいくつかある（参考：川久保 2010）

定理

$n$ 次正方行列 $A$ について、次の4条件は同値である

(1) $A$ は対角化可能である

(2) $A$ の固有方程式は重複もこめて $n$ 個の解をもち、かつ各固有値の重複度はその固有値に属する固有空間の次元に一致する。

すなわち、 $A$ の異なる固有値を $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ とし、 $λ_{i}$ の重複度を $k_{i}$ 、 $λ_{i}$ に属する固有空間を $V (λ_{i})$ とするとき、

\sum_{i = 1}^{s} k_{i} = n かつ k_{i} = \dim V (λ_{i}) (i = 1, \dots, s)

が成り立つ。

(3) $A$ の各固有値に属する固有空間の次元の和は $n$ になる。すなわち $A$ の異なる固有値を $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ とし、 $λ_{i}$ に属する固有空間を $V (λ_{i})$ とするとき、

\sum_{i = 1}^{s} \dim V (λ_{i}) = n

が成り立つ。

(4) $n$ 個の 1 次独立な $A$ の固有ベクトルが存在する。

三角化#

$n$ 次正方行列 $A$ が与えられたとき、 $P^{- 1} A P$ が三角行列になるような正方行列 $P$ を求めることを、行列 $A$ の 三角化 という。またそのような $P$ が存在するとき、 $A$ は 三角化可能 という。

また、 $n$ 次正方行列 $P$ が $P P^{T} = E$ を満たすとき、 $P$ を直交行列という。

定理

$n$ 次正方行列 $A$ が, 重複もふくめて $n$ 個の固有値 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ をもつとき(すなわち, $φ_{A} (t) = (λ_{1} - t) \dots (λ_{n} - t)$ となるとき)， $A$ は適当な正則行列 $P$ によって次の形に三角化される。

\begin{array}{r} P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} λ_{1} & * \\ λ_{2} \\ ⋱ \\ O & λ_{n} \end{array}) \end{array}

$P$ として直交行列をとることもできる。

固有ベクトルによる対角化

Contents

固有ベクトルによる対角化#

例#

対角化に関する定理#

対角化可能の判定#

固有値の重複度（重解）と固有空間の次元数#

対角化の条件#

三角化#