練習問題メモ 19（固有値と固有ベクトル その1－正方行列の定める線形変換の場合－）

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練習問題メモ 19（固有値と固有ベクトル その1－正方行列の定める線形変換の場合－）#

問1#

A∈Mn(R),λ を A の固有値とする。 Rn の部分集合

W~(λ)={x∈Rn∣ ある自然数 k に対して (λE−A)kx=0}

は Rn の部分空間であることを示せ。なお、 W~(λ) を固有値 λ に対する A の 広域固有空間 または 一般固有空間 という。

(1) ゼロベクトルを含む

(λE−A)k0=0

であり、0∈Rnであるため

0∈W~(λ)

（広義固有空間の求め方【例題】 など、広義固有空間の定義として「零を含む」とする流儀もあるようだが、今回はxが固有ベクトル（x≠0）と指定されてないので0∈Rnゆえ零を含むといえる）

(2) 和について閉じている

x1,x2∈W~(λ)について、ある自然数k,ℓ∈Nが存在し

(λE−A)kx1=0(λE−A)ℓx2=0

m∈Nをm≥k,m≥ℓとおくと

(λE−A)m(x1+x2)=(λE−A)mx1+(λE−A)mx2=0

よって

x1+x2∈W~(λ)

(3) 定数倍について閉じている

∀c∈R,∀x∈W~(λ),(λE−A)kcx=c{(λE−A)kx}=c{0}=0

よって

cx∈W~(λ)

(1),(2),(3)を満たすため、W~(λ)はRnの部分空間

問2#

次の１～３の正方行列の固有値と固有値に対する 1 つの固有ベクトルおよび固有空間を求めよ。

  1. (1122)

  2. (120222023)

  3. (211121112)

  1. (1122)

  1. 固有値を求める

(A−λE)x=0が非自明な解x≠0を持つためにはdet(A−λE)=0である必要があるため、そのようなλを求める

det(A−λE)=det(1−λ122−λ)=(1−λ)(2−λ)−2=2−3λ+λ2−2=(λ−3)λ=0

なので、λ=0,3

  1. 固有ベクトルと固有空間を求める

λ=0の場合：

Ax=λx

は

(1122)(x1x2)=λ(x1x2)

であり

{x1+x2=02x1+2x2=0

となる。

これを解くと

x1=−x2x2=−x1

つまり

x=(x1−x1)

であるため、未知の数c∈Rをもちいて

x=c(1−1)

と表すことができる。そのため、例えば (1−1)は固有値0に属する固有ベクトルのひとつになる。

固有空間は

V(0)={c(1−1)|c∈R}

となる。

λ=3の場合：

Ax=λx

は

{x1+x2=3x12x1+2x2=3x2

となる。

これを解くと

x2=2x1

であるため、

x=(x12x1)=c(12),c∈R

となり、例えば(12)が固有値3の固有ベクトルの一つである。

固有空間V(λ)は

V(3)={c(12)|c∈R}

となる。

  1. (120222023)

  1. 固有値を求める

det(A−λE)=det(1−λ2022−λ2023−λ)=(1−λ)(2−λ)(3−λ)−4(1−λ)−4(3−λ)=(2−3λ+λ2)(3−λ)−4+4λ−12+4λ=(2−3λ+λ2)(3−λ)−16+8λ=6−9λ+3λ2−2λ+3λ2−λ3−16+8λ=−λ3+6λ2−3λ−10

よって

(λ−5)(λ−2)(λ+1)=0

なので、λ=−1,2,5

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import sympy as sp

l = sp.Symbol("l")
M = sp.Matrix([
    [1-l, 2, 0],
    [2, 2-l, 2],
    [0, 2, 3-l],
])
det = M.det()
print(f"{det=}")

print(f"factor: {sp.factor(det)}")

from sympy.solvers import solve
print(f"λ={solve(det)}")
Hide code cell output 
det=-l**3 + 6*l**2 - 3*l - 10
factor: -(l - 5)*(l - 2)*(l + 1)
λ=[-1, 2, 5]

λ=−1の場合

(A−λE)x=0=(1+12022+12023+1)(x1x2x3)=0
{2x1+2x2=02x1+3x2+2x3=02x2+4x3=0

1行目の式より x1=−x2 なので、 2行目の式に代入して

−2x2+3x2+2x3=0⟺x2=−2x3⟺x3=−12x2

よって

(−x2x2−12x2)=x2(−11−12)

なので

x=c(−11−12),c∈R

固有ベクトルのひとつは(−11−12)となる

固有空間V(λ)は

V(−1)={c(−11−12)|c∈R}

λ=2の場合

(A−λE)x=0⟺(1−22022−22023−2)(x1x2x3)=0⟺(−120202021)(x1x2x3)=0
{−x1+2x2=02x1+2x3=02x2+x3=0

これを解くと

x1=2x2x3=−2x2

よって

(2x2x2−2x2)=x2(21−2)

なので

x=c(21−2),c∈R

固有ベクトルのひとつは(21−2)となる

固有空間V(λ)は

V(2)={c(21−2)|c∈R}

λ=5の場合

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import sympy as sp

l = sp.Symbol("l")
M = sp.Matrix([
    [1-l, 2, 0],
    [2, 2-l, 2],
    [0, 2, 3-l],
])
print(M.eigenvals())
M.eigenvects()
Hide code cell output 
{5 - l: 1, 2 - l: 1, -l - 1: 1}

[(2 - l,
  1,
  [Matrix([
   [  -1],
   [-1/2],
   [   1]])]),
 (5 - l,
  1,
  [Matrix([
   [1/2],
   [  1],
   [  1]])]),
 (-l - 1,
  1,
  [Matrix([
   [ 2],
   [-2],
   [ 1]])])]

  1. (211121112)

1. 固有値を求める

固有方程式

det(A−λE)=det(2−λ1112−λ1112−λ)=0

を解く。

det(A−λE)=det(2−λ1112−λ1112−λ)=(2−λ)3+1+1−3(2−λ)=(2−λ)(2−λ)(2−λ)+2−6+3λ=(4−4λ+λ2)(2−λ)−4+3λ=8−4λ−8λ+4λ2+2λ2−λ3−4+3λ=−λ3+6λ2−12λ+3λ+8−4=−λ3+6λ2−9λ+4

因数定理を使う：f(λ)=−λ3+6λ2−9λ+4にλ=1を試しに代入すると、f(1)=−1+6−9+4=0。0になるので、因数の一つは(λ−1)であることがわかる

組立除法により、f(λ)=(λ−1)×−(λ2−5λ+4)=−(λ−1)(λ−1)(λ−4)であることがわかる

よってλ=1,4

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import sympy as sp

l = sp.Symbol("l")
M = sp.Matrix([
    [2-l, 1, 1],
    [1, 2-l, 1],
    [1, 1, 2-l],
])
det = M.det()
print(f"{det=}")

print(f"factor: {sp.factor(det)}")

from sympy.solvers import solve
print(f"λ={solve(det)}")
Hide code cell output 
det=-l**3 + 6*l**2 - 9*l + 4
factor: -(l - 4)*(l - 1)**2
λ=[1, 4]

λ=1の場合

(A−λE)x=(111111111)(x1x2x3)=0

x1+x2+x3=0

c1,c2∈Rとおき、

x1=c1x2=c2x3=−c1−c2

とする。

x=c1(10−1)+c2(01−1)

となり、固有空間は

V(1)={c1(10−1)+c2(01−1)|c1,c2∈R}

となる。固有ベクトルの例は、c1=c2=1とおいて

(10−1)+(01−1)=(11−2)

λ=4の場合

(A−λE)x=(2−λ1112−λ1112−λ)(x1x2x3)=(−2111−2111−2)(x1x2x3)=0
{−2x1+x2+x3=0x1−2x2+x3=0x1+x2−2x3=0

1行目から2行目を引けば

−3x1+3x2=0→x2=x1

1行目を2倍して2行目に足せば

−3x1+3x3=0→x3=x1

よって

x=x1(111)

なので

x=c(111),c∈R

固有ベクトルのひとつは(111)となる

固有空間V(λ)は

V(4)={c(111)|c∈R}

問3#

正方行列 A および λ に関する多項式 f(λ) をそれぞれ

A=(13111923),f(λ)=λ4−λ3−λ2+9λ−1

により定める。行列多項式 f(A) を計算せよ。

事前知識：

  • 行列多項式は多項式の変数部分に行列をとったもの

  • 行列多項式において、1は単位行列として扱う

  • もしλが固有値でfが固有多項式だとすると、ケイリー・ハミルトンの定理よりf(A)=Oだが、問題中のf(λ)は、λを使っていてややこしいが固有多項式ではない（2次の行列なのにλ4など2より高次の項があるため）

ケイリー・ハミルトンの定理（2次の正方行列の場合）

A=(abcd)

の場合、固有多項式は

ϕA(λ)=det(A−λI)=det(a−λbcd−λ)=(a−λ)(d−λ)−bc=ad−aλ−dλ+λ2−bc=λ2−(a+d)λ+(ad−bc)

今回はケイリー・ハミルトンの定理における

A2−(a+d)A+(ad−bc)

の部分は、

A2−(a+d)A+(ad−bc)=A2−(13+23)A+(1323−1119)=A2−A+(29−119)=A2−A−1

となる

問題文中の行列多項式を整理すると、ケイリー・ハミルトンの定理によりA2−A−I=0となるため

f(A)=A4−A3−A2+9A−1=A2(A2−A−I⏟=O)+9A−1=9A−1

となる。

よって

f(A)=9A−E=9(13111923)−(1001)=(939999183)−(1001)=(39916)−(1001)=(29915)
import sympy as sp

M = sp.Matrix([
    [1/3, 11],
    [1/9, 2/3],
])
I = sp.Matrix([
    [1, 0],
    [0, 1],
])

(M @ M @ M @ M) - (M @ M @ M) - (M @ M) + 9 * M - I
[2.0991.05.0]

問4#

次の問いに答えよ。

  1. 零写像の定義を書け。

  2. f をベクトル空間 V の線形変換とする。 m 個の f から得られる合成写像を fm と書く。例えば、 f2=f∘f,f3=f∘f∘f である。また、 f1=f と約束する。ある自然数 m に対して、 fm が零写像となるならば、 f の固有値は 0 のみであることを示せ。

  1. 零写像の定義を書け。

定義域の任意の元を定義域の零元に写す写像のこと。

すなわち、写像をf:X→Yとすると、∀x∈X,f(x)=0∈Yとなる写像のこと。

  1. f をベクトル空間 V の線形変換とする。 m 個の f から得られる合成写像を fm と書く。例えば、 f2=f∘f,f3=f∘f∘f である。また、 f1=f と約束する。ある自然数 m に対して、 fm が零写像となるならば、 f の固有値は 0 のみであることを示せ。

f(x)=λxとおくと、合成写像f∘f(x)=f(f(x)) は

f(f(x))=f(λx)=λf(x)=λ2x

同様に、m≤2について

fm(x)=fm−1(f(x))=fm−1(λx)=λmx
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