確率

確率#

標本空間#

確率は世の中で観測される事象に対して定義されるため、まず事象を数学的に記述する。

「六面サイコロを1個投げたときの出目」のような事象（event）の集合

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

を 標本集合 (sample set) と呼ぶ。また試行の結果得られたものを 標本（sample） と呼ぶ。

事象：σ-加法族#

定義（σ-加法族）

標本空間 $Ω$ の部分集合からなる族 $F$ で $Ω \in F$ を満たすものが

以下の (1), (2) を満たすとき、 $F$ を 有限加法族（集合体） という。

(1) 任意の $A \in F$ に対し、 $A^{c} := Ω ∖ A \in F$ 。ただし $Ω^{c} = \emptyset$ とする。

(2) $A_{1}, A_{2} \in F \Rightarrow A_{1} \cup A_{2} \in F$

有限加法族 $F$ がさらに次の (3) を満たすとき、 $F$ を $σ$ -加法族 ( $σ$ -field) や 完全加法族 という。

(3) $A_{i} \in F (i = 1, 2, \dots) ⟹ ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F$

Note

有限加法族の「有限」とは、有限回の集合演算に対して閉じていることを意味する。

すなわち、任意の $n$ に対し

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \in F ⟹ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} \in F

σ-加法族だと無限回の集合演算に閉じてるということ。

定義（事象）

σ-加法族 $F$ の元 $ω \in F$ を、事象（event）と呼ぶ。

定義（可測空間）

標本空間 $Ω$ とその上の $σ$ -加法族 $F$ が与えられたとき、この2つの組 $(Ω, F)$ を 可測空間（measurable space） という。

このとき、事象（ $F$ の元）を特に 可測集合 (measurable set) ともいう

ただし、なんでもいいわけではなく、例えば $F = 2^{Ω}$ とし、 $Ω = R$ と対応付けたような集合は、大きすぎて自然な確率が定義できないことが知られている。

実用的なσ加法族としてボレル集合族というものがある。

ボレル集合族#

標本空間 $Ω = R^{d} (d \in N)$ について、まず $d = 1$ の場合のσ加法族を考える。

区間の集合

I = {(a, b] ∣ a, b \in R \cup {\pm \infty}}

を考える。ただし $b = \infty$ のときは $(a, b] = (a, \infty)$ とし、 $a > b$ のときは $(a, b] = \emptyset$ とする。

これに対し、

A = {\cup_{k = 1}^{m} I_{k} ∣ m \in N, I_{i} \cap I_{j} = \emptyset (1 \leq i < j \leq m), I_{i}, I_{j} \in I}

とすると、これは有限加法族である。このような $A$ を 区間塊 という。

$A$ の元に対して、その補集合や積集合を加えて $A$ を拡張していくと $A$ を含むσ-加法族が出来上がる。

定義

標本空間 $Ω$ の部分集合族 $A$ に対して， $σ$ -加法族 $F$ が以下の 2 条件を満たすとする。

(i) $A \subset F$

(ii) $A$ を含む任意の $σ$ -加法族 $G$ に対して， $F \subset G$

このとき、 $F = σ (A)$ のように書き、 $A$ を含む最小の $σ$ -加法族 という。

上記の区間集合で定義された $A$ から作られた $σ (A)$ は、特に $R$ 上の ボレル集合族 (Borel field) と言われ、

B := σ (A)

と書かれる。

一般化して $d$ 次元の標本空間 $Ω = R^{d} (d \in N)$ に対しても、 $d$ 時点の区間の集合

I_{d} = {(a_{1}, b_{1}] \times \dots \times (a_{d}, b_{d}] ∣ (a_{i}, b_{i}] \in I, 1 \leq i \leq d}

に対して $B_{d} = σ (I_{d})$ と作ることができる。これを $d$ 次元ボレル集合族 という。こうして $d$ 次元（ボレル）可測空間

(R^{d}, B_{d})

が得られる

確率変数#

標本の元 $ω \in Ω$ のことは根元事象とも呼ばれる。例えばサイコロの目を $X$ として、 $X (ω_{i}) = i (i = 1, \dots, 6)$ という対応を考える。 $X = i$ という観測（実現値 realization）を通して、背後に $ω_{i}$ という事象が起こっていたのだと考える。よって、 $X : Ω \to R$ となるような対応があって、これが確率変数となる。

例えば $X \in {1, 6}$ となるような「確率」を考えることは、事象 ${ω_{1}, ω_{6}}$ の「確率」を考えることになる。したがって ${ω_{1}, ω_{6}} = X^{- 1} ({1, 6}) \in F$ であることが要求される。

（少なくとも清水 (2021) では）以下の略記法が用いられる。

記法：写像 $X : Ω \to R$ に対して,

{X \in B} := {ω \in Ω ∣ X (ω) \in B} (= X^{- 1} (B))

また, $b > a > 0$ に対して $B = (a, b]$ のときには, ${a < X \leq b} := {X \in (a, b]}$ のような記号も用いる.

定義（確率変数）

可測空間 $(Ω, F)$ に対し、写像 $X : Ω \to R^{d}$ が任意の $B \in B_{d}$ に対し

{X \in B} \in F

を満たすとき、 $X$ を $R^{d}$ -値 $(d$ 次元) 確率変数 (random variable) という。

※randam variableの訳語は「確率変数」だが、確率の定義に踏み入らずに定義される。

確率変数は可測関数#

確率変数は測度論における可測関数のこと。

定義（可測関数）

可測空間 $(X, F)$ から $(Y, G)$ への写像 $f : X \to Y$ が任意の $A \in G$ に対して

f^{- 1} (A) \in F

を満たすとき、 $f$ は $X$ 上の $F$ -可測関数 (measurable function) あるいは単に $F$ -可測 といわれる。 $f$ の行先の $σ$ -加法族を強調するために $F / G$ -可測 ということもある。また $X = R^{d}, F = B_{d}$ の場合には $f$ を単に 可測関数 という。

よって確率変数は $Ω$ 上の $F$ -可測関数である

定理

$X$ を $d$ 次元確率変数とするとき、任意の可測関数 $f : R^{d} \to R^{k}$ に対して、 $Y := f (X)$ は $k$ 次元確率変数である。

確率#

頻度論的確率#

日常的に使われる確率の定義は

(確率) = \frac{(対象となる場合の数)}{(起こり得るすべての場合の数)}

で、これはラプラスによる 頻度論的確率 と呼ばれる定義。

公理論的確率#

コルモゴロフによる公理主義的な確率

定義：確率の公理1

有限加法族 $F$ が与えられたとき、次の 1, 2 を満たす写像 $P : F \to [0, 1]$ を $F$ 上の （有限加法的）確率 という。

(全確率) $P (Ω) = 1$
(有限加法性) $A, B \in F$ が $A \cap B = \emptyset$ を満たせば

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

$A \cap B = \emptyset$ は同時に起こらない、排反事象のこと。2.のほうを確率の加法性という。

確率

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