全微分#

2変数関数$z=f(x,y)$があるとし、独立変数$x,y$の微分$dx$と$dy$は、任意の増分$\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$とする（$dx=\mathrm{\Delta }x,dy=\mathrm{\Delta }y$）。

関数$z=f(x,y)$の 全微分 （total differential）は

$$dz:=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy$$

例

$z=xy$とすると、

$$dz=ydx+xdy$$

合成関数の導関数#

関数 $z=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ において, $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ が変数 $t$ に依存するなら、

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{d{x}_1}{dt}+\frac{\partial z}{\partial x_2}\frac{d{x}_2}{dt}+\cdots +\frac{\partial z}{\partial x_n}\frac{d{x}_n}{dt}$$