全微分

2変数関数\(z=f(x,y)\)があるとし、独立変数\(x,y\)の微分\(dx\)と\(dy\)は、任意の増分\(\Delta x, \Delta y\)とする（\(dx=\Delta x, dy = \Delta y\)）。

関数\(z=f(x,y)\)の 全微分 （total differential）は

\[ dz := \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} dy \]

例

\(z=xy\)とすると、

\[ dz = y dx + x dy \]

合成関数の導関数

関数 \(z=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\) において, \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) が変数 \(t\) に依存するなら、

\[ \frac{d z}{d t}=\frac{\partial z}{\partial x_1} \frac{d x_1}{d t}+\frac{\partial z}{\partial x_2} \frac{d x_2}{d t}+\cdots+\frac{\partial z}{\partial x_n} \frac{d x_n}{d t} \]