練習問題メモ 23（正規直交基底）
問1
\(\mathbb{R}^3\) の基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\}\) を
\[\begin{split}
\boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
\end{split}\]
により定める。 \(\mathbb{R}^3\) の標準内積を考え、グラムーシュミットの直交化法を用いて、基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\}\) から正規直交基底 \(\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3\right\}\) を求めよ。
(1) \(b_1\)を求める
\[
\|a_1 \| = \sqrt{|1|^2 + |1|^2 + |1|^2} = \sqrt{3}
\]
\[\begin{split}
b_1 = \frac{a_1}{\|a_1\|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}
\end{split}\]
(2) \(b_2\)を求める
\[\begin{split}
\begin{aligned}
c &= \langle a_2, b_1 \rangle\\
&= \frac{1}{\|a_1\|} \langle a_2, a_1 \rangle\\
&= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\\
&= \frac{2}{\sqrt{3}}
\end{aligned}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
a_2 - c b_1
&= a_2 - \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} a_1\\
&= a_2 - \frac{2}{3} a_1\\
&= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix} - \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\\
\end{aligned}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\| a_2 - c b_1 \|
&= \sqrt{ |-\frac{2}{3}|^2 + |\frac{1}{3}|^2 + |\frac{1}{3}|^2}\\
&= \sqrt{ \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} }\\
&= \sqrt{ \frac{6}{9} }\\
&= \frac{ \sqrt{6} }{3}
\end{aligned}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
b_2 &= \frac{a_2 - c b_1} { \| a_2 - c b_1 \| }\\
&= \frac{ 3 }{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}
\\
&= \frac{ 3 }{\sqrt{6}} \frac{ \sqrt{6}}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\\
&= \frac{3\sqrt{6}}{6} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} -\frac{2\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{pmatrix}\\
\end{aligned}
\end{split}\]
(3) \(b_3\)を求める
\[\begin{split}
c_1 = \langle a_3, b_1 \rangle
= \frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{split}\]
\[\begin{split}
c_2 = \langle a_3, b_2 \rangle
= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -\frac{2\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{pmatrix}
= \frac{\sqrt{6}}{6}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
a_3 - (c_1 b_1 + c_2 b_2)
&= a_3 - \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}
- \frac{\sqrt{6}}{6} \begin{pmatrix} -\frac{2\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{pmatrix}
\\
&= a_3 - \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} -\frac{2}{6}\\ \frac{1}{6}\\ \frac{1}{6} \end{pmatrix}
\\
&= a_3
- \begin{pmatrix} \frac{2}{6}\\ \frac{2}{6}\\ \frac{2}{6}\\ \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} -\frac{2}{6}\\ \frac{1}{6}\\ \frac{1}{6} \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} 0\\ \frac{3}{6} \\ \frac{3}{6} \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} 0\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{split}\]
\[
\|a_3 - (c_1 b_1 + c_2 b_2)\|
= \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}
= \sqrt{\frac{1}{2}}
= \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
b_3 &= \frac{a_3 - (c_1 b_1 + c_2 b_2)}{\|a_3 - (c_1 b_1 + c_2 b_2)\|}\\
&= \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} 0\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\\
\end{aligned}
\end{split}\]
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right]\end{split}\]
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right]\end{split}\]
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}0\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]\end{split}\]
[Matrix([
[sqrt(3)/3],
[sqrt(3)/3],
[sqrt(3)/3]]),
Matrix([
[-sqrt(6)/3],
[ sqrt(6)/6],
[ sqrt(6)/6]]),
Matrix([
[ 0],
[-sqrt(2)/2],
[ sqrt(2)/2]])]
[Matrix([
[1],
[1],
[1]]),
Matrix([
[-2/3],
[ 1/3],
[ 1/3]]),
Matrix([
[ 0],
[-1/2],
[ 1/2]])]
問2
次の問いに答えよ。
直交行列の定義を書け。
\(A, B\) を \(n\) 次の直交行列とすると、積 \(A B\) も直交行列であることを示せ。
\(A\) を直交行列とすると、 \(A\) は正則で、逆行列 \(A^{-1}\) も直交行列であることを示せ。
補足
\(n\) 次の直交行列全体の集合は \(\mathrm{O}(n, \mathbb{R})\) または \(\mathrm{O}(n)\) と書くことが多い（\(O\) は「直交する」を意味する英単語”orthogonal”の頭文字である。また、ここでは直交行列は実行列としている）。 \(A, B, C \in\) \(\mathrm{O}(n)\) とすると、問 2 の結果を含め、次の \(1 \sim 4\) が成り立つ。
\(A B \in \mathrm{O}(n)\)
\((A B) C=A(B C)\)
\(E \in \mathrm{O}(n)\) で、 \(E A=A E=A\)
\(A^{-1} \in \mathrm{O}(n)\) で、 \(A^{-1} A=A A^{-1}=E\)
一般の集合に対しても、上の \(1 \sim 4\) のような性質を持つ積を演算として考えると、群というものを定義することができる。 \(\mathrm{O}(n)\) を \(n\) 次の 直交群 という。
転置行列と逆行列が等しくなる行列のこと。すなわち、\(A \in M_n(\mathbb{R})\)について
\[
A^T A = A A^T = E
\]
を満たすような行列のこと
\(A, B\) を \(n\) 次の直交行列とすると、積 \(A B\) も直交行列であることを示せ。
\[\begin{split}
\begin{aligned}
(AB)^\top (AB)
&= B^\top A^\top AB \quad ( 転置の法則 (AB)^\top = B^\top A^\top より)\\
&= B^\top E B\\
&= B^\top B\\
&= E
\end{aligned}
\end{split}\]
\[\begin{split}
\begin{aligned}
(AB) (AB)^\top
&= AB B^\top A^\top \quad ( 転置の法則 (AB)^\top = B^\top A^\top より)\\
&= A E A\\
&= A^\top A\\
&= E
\end{aligned}
\end{split}\]
より、積\(AB\)も直交行列である
\(A\) を直交行列とすると、 \(A\) は正則で、逆行列 \(A^{-1}\) も直交行列であることを示せ。
\(A\)が直交行列であれば、その転置行列\(A^\top\)は逆行列\(A^{-1}\)に等しい。
行列\(A\)に逆行列\(A^{-1}\)が存在することと\(A\)が正則であることは同値であるため、\(A\)は正則である。
よって
\[
Aは直交行列 \implies Aは正則
\]
である。
\(A\)が直交行列であれば、定義より\(A^{-1} = A^\top\)である。
\((A^\top)^\top = A\)のため、
\[
(A^{-1})^\top A^{-1}
= A A^\top
= E
\]
よって\(A^{-1}\)は直交行列である
問3
2 次の直交行列は \(0 \leq \theta<2 \pi\) をみたす \(\theta\) を用いて、
\[\begin{split}
\left(\begin{array}{ll}\cos \theta & \mp \sin \theta \\ \sin \theta & \pm \cos \theta\end{array}\right) \quad (複合同順)
\end{split}\]
と表されることを示せ。
Note
複合同順とは、今回の場合でいうと
\[\begin{split}
\left(\begin{array}{ll}
\cos \theta & \mp \sin \theta \\
\sin \theta & \pm \cos \theta
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ll}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)
\quad \text{ or }\quad
\left(\begin{array}{ll}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & - \cos \theta
\end{array}\right)
\end{split}\]
ということ
Note
2次の逆行列の明示公式
\[\begin{split}
\mathbf{A}^{-1}
=\frac{1}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}
\left(\begin{array}{cc}
a_{22} & -a_{12} \\
-a_{21} & a_{11}
\end{array}\right)
\end{split}\]
\[\begin{split}
A_1 =
\left(\begin{array}{ll}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)
\end{split}\]
とおくと、
\[\begin{split}
A_1^{-1}
= \frac{1}{ \underbrace{ \cos^2\theta + \sin^2\theta }_{=1} }
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
- \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
- \sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
= A_1^T
\end{split}\]
のため、\(A_1\)は直交行列である
\[\begin{split}
A_2 =
\left(\begin{array}{ll}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & - \cos \theta
\end{array}\right)
\end{split}\]
とおくと
\[\begin{split}
A_2^{-1}
= \frac{1}{ \underbrace{ -\cos^2\theta - \sin^2\theta }_{= -1} }
\begin{pmatrix}
-\cos \theta & -\sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & -\cos \theta
\end{pmatrix}
= A_2^T
\end{split}\]
であるため、\(A_2\)は直交行列である。
よって
\[\begin{split}
\left(\begin{array}{ll}\cos \theta & \mp \sin \theta \\ \sin \theta & \pm \cos \theta\end{array}\right) \quad (複合同順)
\end{split}\]
は直交行列である
問4
\(A \in M_n(\mathbb{R})\) に対して、 \(\mathbb{R}^n\) の線形変換 \(f_A\) を
\[
f_A(\boldsymbol{x})=A \boldsymbol{x} \quad\left(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\right)
\]
により定め、 \(\mathbb{R}^n\) の標準内積を考える。以下の定理 23.4 の 2 と 3 の同値性を示せ。
定理 23.4
\[
f_A(\boldsymbol{x})=A \boldsymbol{x} \quad\left(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\right)
\]
により定め、 \(\mathbb{R}^n\) の標準内積を考える。このとき、次の \(1 \sim 3\) は互いに同値である。
\(f_A\) は直交変換である。
\(A\) は直交行列である。
\(A\) の \(n\) 個の列ベクトルは \(\mathbb{R}^n\) の正規直交基底である。
\(A=\left(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right)=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{a}_1^{\prime} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n^{\prime}\end{array}\right)\) をそれぞれ \(A\) の列ベクトル表示、行ベクトル表示とする。
2 \(\iff\) 3:
\[\begin{split}
\begin{aligned}
A \text { は直交行列 } \iff & A^T A = E
\\
\iff & \boldsymbol{a}_i^T \boldsymbol{a}_j = \langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{a}_j \rangle =\delta_{i j} \quad(1 \leqq i, j \leqq n)
\\
& \left( A^T A \text { の }(i, j) \text { 成分が } \boldsymbol{a}_i^T \boldsymbol{a}_j \text { であるから }\right)
\\
\iff & \boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n \text { は } \mathbb{R}^n \text { の正規直交基底 }
\end{aligned}
\end{split}\]