練習問題メモ 23（正規直交基底）

練習問題メモ 23（正規直交基底）#

問1#

$R^{3}$ の基底 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ を

\begin{array}{r} a_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}), a_{3} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \end{array}

により定める。 $R^{3}$ の標準内積を考え、グラムーシュミットの直交化法を用いて、基底 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ から正規直交基底 ${b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ を求めよ。

(1) $b_{1}$ を求める

‖ a_{1} ‖ = \sqrt{| 1 |^{2} + | 1 |^{2} + | 1 |^{2}} = \sqrt{3}

\begin{array}{r} b_{1} = \frac{a_{1}}{‖ a_{1} ‖} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \end{array}

(2) $b_{2}$ を求める

\begin{array}{r} \begin{aligned} c & = ⟨ a_{2}, b_{1} ⟩ \\ = \frac{1}{‖ a_{1} ‖} ⟨ a_{2}, a_{1} ⟩ \\ = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \\ = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} \begin{aligned} a_{2} - c b_{1} & = a_{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} a_{1} \\ = a_{2} - \frac{2}{3} a_{1} \\ = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - \frac{2}{3} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} \begin{aligned} ‖ a_{2} - c b_{1} ‖ & = \sqrt{| - \frac{2}{3} |^{2} + | \frac{1}{3} |^{2} + | \frac{1}{3} |^{2}} \\ = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} \\ = \sqrt{\frac{6}{9}} \\ = \frac{\sqrt{6}}{3} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} \begin{aligned} b_{2} & = \frac{a_{2} - c b_{1}}{‖ a_{2} - c b_{1} ‖} \\ = \frac{3}{\sqrt{6}} (\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}) \\ = \frac{3}{\sqrt{6}} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} (\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}) \\ = \frac{3 \sqrt{6}}{6} (\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} - \frac{2 \sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

(3) $b_{3}$ を求める

\begin{array}{r} c_{1} = ⟨ a_{3}, b_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}

\begin{array}{r} c_{2} = ⟨ a_{3}, b_{2} ⟩ = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} - \frac{2 \sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array}) = \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array}

\begin{array}{r} \begin{aligned} a_{3} - (c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2}) & = a_{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - \frac{\sqrt{6}}{6} (\begin{array}{c} - \frac{2 \sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array}) \\ = a_{3} - \frac{1}{3} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - \frac{2}{6} \\ \frac{1}{6} \\ \frac{1}{6} \end{array}) \\ = a_{3} - (\begin{array}{c} \frac{2}{6} \\ \frac{2}{6} \\ \frac{2}{6} \end{array}) - (\begin{array}{c} - \frac{2}{6} \\ \frac{1}{6} \\ \frac{1}{6} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{3}{6} \\ \frac{3}{6} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

‖ a_{3} - (c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2}) ‖ = \sqrt{(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\begin{array}{r} \begin{aligned} b_{3} & = \frac{a_{3} - (c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2})}{‖ a_{3} - (c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2}) ‖} \\ = \sqrt{2} (\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

import sympy as sp

a1 = sp.Matrix([1, 1, 1])
a2 = sp.Matrix([0, 1, 1])
a3 = sp.Matrix([0, 0, 1])

b1 = a1 / a1.norm()
b1

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}] \end{array}

c = (a2.T @ b1)[0]
b2 = (a2 - c * b1) / (a2 - c * b1).norm()
b2

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} - \frac{\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array}] \end{array}

c1 = (a3.T @ b1)[0]
c2 = (a3.T @ b2)[0]
b3 = (a3 - (c1 * b1 + c2 * b2)) / (a3 - (c1 * b1 + c2 * b2)).norm()
b3

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}] \end{array}

sp.GramSchmidt([a1,a2,a3], True)

[Matrix([
 [sqrt(3)/3],
 [sqrt(3)/3],
 [sqrt(3)/3]]),
 Matrix([
 [-sqrt(6)/3],
 [ sqrt(6)/6],
 [ sqrt(6)/6]]),
 Matrix([
 [         0],
 [-sqrt(2)/2],
 [ sqrt(2)/2]])]

sp.GramSchmidt([a1,a2,a3], orthonormal=False)

[Matrix([
 [1],
 [1],
 [1]]),
 Matrix([
 [-2/3],
 [ 1/3],
 [ 1/3]]),
 Matrix([
 [   0],
 [-1/2],
 [ 1/2]])]

問2#

次の問いに答えよ。

直交行列の定義を書け。
$A, B$ を $n$ 次の直交行列とすると、積 $A B$ も直交行列であることを示せ。
$A$ を直交行列とすると、 $A$ は正則で、逆行列 $A^{- 1}$ も直交行列であることを示せ。

補足

$n$ 次の直交行列全体の集合は $O (n, R)$ または $O (n)$ と書くことが多い（ $O$ は「直交する」を意味する英単語”orthogonal”の頭文字である。また、ここでは直交行列は実行列としている）。 $A, B, C \in$ $O (n)$ とすると、問 2 の結果を含め、次の $1 \sim 4$ が成り立つ。

$A B \in O (n)$
$(A B) C = A (B C)$
$E \in O (n)$ で、 $E A = A E = A$
$A^{- 1} \in O (n)$ で、 $A^{- 1} A = A A^{- 1} = E$

一般の集合に対しても、上の $1 \sim 4$ のような性質を持つ積を演算として考えると、群というものを定義することができる。 $O (n)$ を $n$ 次の 直交群 という。

直交行列の定義を書け。

転置行列と逆行列が等しくなる行列のこと。すなわち、 $A \in M_{n} (R)$ について

A^{T} A = A A^{T} = E

を満たすような行列のこと

$A, B$ を $n$ 次の直交行列とすると、積 $A B$ も直交行列であることを示せ。

\begin{array}{r} \begin{aligned} (A B)^{⊤} (A B) & = B^{⊤} A^{⊤} A B (転 置 の 法 則 (A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} よ り) \\ = B^{⊤} E B \\ = B^{⊤} B \\ = E \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} \begin{aligned} (A B) (A B)^{⊤} & = A B B^{⊤} A^{⊤} (転 置 の 法 則 (A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} よ り) \\ = A E A \\ = A^{⊤} A \\ = E \end{aligned} \end{array}

より、積 $A B$ も直交行列である

$A$ を直交行列とすると、 $A$ は正則で、逆行列 $A^{- 1}$ も直交行列であることを示せ。

$A$ が直交行列であれば、その転置行列 $A^{⊤}$ は逆行列 $A^{- 1}$ に等しい。行列 $A$ に逆行列 $A^{- 1}$ が存在することと $A$ が正則であることは同値であるため、 $A$ は正則である。

よって

A は 直 交 行 列 ⟹ A は 正 則

である。

$A$ が直交行列であれば、定義より $A^{- 1} = A^{⊤}$ である。

$(A^{⊤})^{⊤} = A$ のため、

(A^{- 1})^{⊤} A^{- 1} = A A^{⊤} = E

よって $A^{- 1}$ は直交行列である

問3#

2 次の直交行列は $0 \leq θ < 2 π$ をみたす $θ$ を用いて、

\begin{array}{r} (\begin{array}{ll} \cos θ & \mp \sin θ \\ \sin θ & \pm \cos θ \end{array}) (複 合 同 順) \end{array}

と表されることを示せ。

Note

複合同順とは、今回の場合でいうと

\begin{array}{r} (\begin{array}{ll} \cos θ & \mp \sin θ \\ \sin θ & \pm \cos θ \end{array}) = (\begin{array}{ll} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array}) or (\begin{array}{ll} \cos θ & \sin θ \\ \sin θ & - \cos θ \end{array}) \end{array}

ということ

Note

2次の逆行列の明示公式

\begin{array}{r} A^{- 1} = \frac{1}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} (\begin{array}{cc} a_{22} & - a_{12} \\ - a_{21} & a_{11} \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} A_{1} = (\begin{array}{ll} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array}) \end{array}

とおくと、

\begin{array}{r} A_{1}^{- 1} = \frac{1}{\underset{= 1}{\underset{⏟}{\cos^{2} θ + \sin^{2} θ}}} (\begin{array}{c} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{array}) = (\begin{array}{c} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{array}) = A_{1}^{T} \end{array}

のため、 $A_{1}$ は直交行列である

\begin{array}{r} A_{2} = (\begin{array}{ll} \cos θ & \sin θ \\ \sin θ & - \cos θ \end{array}) \end{array}

とおくと

\begin{array}{r} A_{2}^{- 1} = \frac{1}{\underset{= - 1}{\underset{⏟}{- \cos^{2} θ - \sin^{2} θ}}} (\begin{array}{c} - \cos θ & - \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{array}) = (\begin{array}{c} \cos θ & \sin θ \\ \sin θ & - \cos θ \end{array}) = A_{2}^{T} \end{array}

であるため、 $A_{2}$ は直交行列である。

よって

\begin{array}{r} (\begin{array}{ll} \cos θ & \mp \sin θ \\ \sin θ & \pm \cos θ \end{array}) (複 合 同 順) \end{array}

は直交行列である

問4#

$A \in M_{n} (R)$ に対して、 $R^{n}$ の線形変換 $f_{A}$ を

f_{A} (x) = A x (x \in R^{n})

により定め、 $R^{n}$ の標準内積を考える。以下の定理 23.4 の 2 と 3 の同値性を示せ。

定理 23.4

f_{A} (x) = A x (x \in R^{n})

により定め、 $R^{n}$ の標準内積を考える。このとき、次の $1 \sim 3$ は互いに同値である。

$f_{A}$ は直交変換である。
$A$ は直交行列である。
$A$ の $n$ 個の列ベクトルは $R^{n}$ の正規直交基底である。

$A = (a_{1}, \dots, a_{n}) = (\begin{matrix} a_{1}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n}^{'} \end{matrix})$ をそれぞれ $A$ の列ベクトル表示、行ベクトル表示とする。

2 $⟺$ 3:

\begin{array}{r} \begin{aligned} A は直交行列 ⟺ & A^{T} A = E \\ ⟺ & a_{i}^{T} a_{j} = ⟨ a_{i}, a_{j} ⟩ = δ_{i j} (1 ≦ i, j ≦ n) \\ (A^{T} A の (i, j) 成分が a_{i}^{T} a_{j} であるから) \\ ⟺ & a_{1}, \dots, a_{n} は R^{n} の正規直交基底 \end{aligned} \end{array}

練習問題メモ 23（正規直交基底）

Contents

練習問題メモ 23（正規直交基底）#

問1#

問2#

問3#

問4#