ノルム線型空間とヒルベルト空間#
ベクトル空間#
(定義)ベクトル空間
空でない集合
加法について、
の中に 0 で表される 1 つ元があって、 の任意の元 に 対して が成り立つ の任意の元 に対して となるような の元 が存在する
スカラー倍について
ここで
内積空間#
内積空間 (inner product space, 計量空間 とも)は、内積が定義されたベクトル空間のこと。
定義
(1)
(2)
(3)
(4)
内積の定義されたベクトル空間を 計量ベクトル空間 や 計量空間 、または 内積空間 という。
ノルム線型空間#
ノルム線型空間 (normed vector space, ノルム空間) は、ノルムの定義されたベクトル空間のこと。
(定義)ノルム
ノルム (norm)とは、以下を満たす関数
(三角不等式)
バナッハ空間#
完備なノルム空間を バナッハ空間 (Banach space)という。
定義(バナッハ空間)
完備なノルム空間を バナッハ空間 (Banach space) という。
数におけるコーシー列
実数または複素数またはその部分集合の列
任意の
となることをいう。
ようは、
数における完備性
「実数集合
実数の連続性と密接な関係をもつ(実数の連続性 - Wikipedia)
距離空間におけるコーシー列
任意の
となることをいう。
ようは、
距離空間における完備性
完備である距離空間を 完備距離空間 (complete metric space) という。
ヒルベルト空間#
完備な計量空間を ヒルベルト空間 という。
計量空間
計量空間
計量空間
ヒルベルト空間 (Hilbert space)は、ユークリッド空間の概念を一般化した空間で、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間(内積空間)で、完備距離空間の構造を備えている(極限が十分に存在することが保証されている)ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。(ヒルベルト空間 - Wikipedia)
再生核ヒルベルト空間#
再生核ヒルベルト空間 (reproducing kernel hilbert space: RKHS)は点評価が連続線形汎函数であるような関数から成るヒルベルト空間
関数を「再生する」とは、関数の定義域内の任意の
内積計算が元空間のカーネルで計算できる → カーネルトリックが使える
ガトー微分#
ガトー微分 (Gâteaux derivative) は微分学における方向微分の概念の一般化で、バナハ空間などの局所凸位相線型空間の間の函数に対して定義される。