体論

体論#

四則演算ができる集合のことを体（field, たい）という。

定義

（2つ以上の要素をもつ）可換環に $\times$ の逆元の存在条件

0 以外のすべての $a$ に対して、ある要素 $a^{- 1}$ が存在して

$a \times a^{- 1} = a^{- 1} \times a = 1$

をさらに課したものを体 (field) という

有理数全体 $Q$ 、実数全体 $R$ 、複素数全体 $C$ は体である

ガロア（Galois, 1811-1832）が $n$ 次方程式の解について探求するためにつくった、体と群の対応について述べた理論。

2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ に関しては、有名な解の公式

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

が存在する。

3次方程式と4次方程式も解の公式が存在する。

しかし、5次方程式には解の公式が存在しない（アーベル・ルフィニの定理）。

（※解は存在するが、公式が存在しない。つまり、有理数の加減乗除や $n$ 乗根を繰り返すことでは表せない。）

5次方程式の解の公式が存在しないことを初めて証明したのはアーベルだが、後にガロアがある群（今日では ガロア群 と呼ばれている群）を導入して、「方程式の解が加減乗除と $n$ 乗根をとる操作で表される」ことと「ガロア群が可解である」ことを結びつけた。

判別式（discriminant）は多項式の解の存在を判定するもの。解の公式とは異なり、こちらは5次以上の方程式にも判別式が存在する。

（例）2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の判別式は

D = b^{2} - 4 a c

となる。

\begin{array}{r} 判別式Dについて {\begin{cases} D > 0 なら異なる2つの実数解をもつ \\ D = 0 なら重解をもつ \\ D < 0 なら実数解をもたない \end{cases} \end{array}

と判定する。