環論

環論#

環 (ring) は2つの演算が定められており、いくつかの性質を満たす集合のこと。

定義

空ではない集合 $R$ が 2 つの演算 $+, \times$ をもち、次の5つの性質を満たすとき、 $R$ は環（ring）であるという。

ただし、以下において $a, b, c$ はすべて $R$ の要素とする。

(1) 結合法則： $+, \times$ についてそれぞれ結合法則が成り立つ：

すべての $a, b, c$ に対して

\begin{array}{r} (a + b) + c = a + (b + c) \\ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \end{array}

(2) 交換法則： $+$ について交換法則が成り立つ：

すべての $a, b$ に対して、 $a + b = b + a$

(3) 分配法則： $+, \times$ について分配法則が成り立つ：

すべての $a, b, c$ に対して

\begin{array}{r} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (a + b) \times c = a \times c + b \times c \end{array}

(4) 単位元： $+, \times$ についてそれぞれ単位元がある：

すべての $a$ に対して, $a + 0 = 0 + a = a$ ,

すべての $a$ に対して， $a \times 1 = 1 \times a = a$

となるような特別な $R$ の要素 $0, 1$ がある・

(5) + の逆元： $+$ については逆元がある：

すべての $a$ に対して，ある要素 $- a$ があり

a + (- a) = (- a) + a = 0

整数全体 $Z$ 、有理数全体 $Q$ 、実数全体 $R$ などは足し算・引き算・掛け算が定義されているため、環である
多項式全体のなす環もある：多項式 $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ （ $n$ は0以上の整数、 $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}$ は実数）の集合 $R [x]$ も環であり、多項式環 という。

可換環は歴史的には代数的整数論、代数幾何学、不変式論などに由来する。

代数的整数論：整数の拡張を考えるとき、環としての拡張を考えることになる。また素因数分解の一般化や、「イデアル」と呼ばれる概念を導入するために環の概念も整備されていった。
代数幾何学：放物線 $y = x^{2}$ すなわち $x^{2} - y = 0$ など、座標空間上の「多項式=0」の形で表される図形に関する幾何学。