環論

環論#

環 (ring) は2つの演算が定められており、いくつかの性質を満たす集合のこと。

定義

空ではない集合 \(R\) が 2 つの演算\(+, \times\) をもち、次の5つの性質を満たすとき、 \(R\) は環（ring）であるという。

ただし、以下において \(a, b, c\) はすべて \(R\) の要素とする。

(1) 結合法則：\(+, \times\) についてそれぞれ結合法則が成り立つ：

すべての \(a, b, c\) に対して

\[\begin{split} (a+b)+c=a+(b+c)\\ (a \times b) \times c=a \times(b \times c) \end{split}\]

(2) 交換法則： \(+\) について交換法則が成り立つ：

すべての \(a, b\) に対して、 \(a+b=b+a\)

(3) 分配法則： \(+, \times\) について分配法則が成り立つ：

すべての \(a, b, c\) に対して

\[\begin{split} a \times(b+c)=a \times b+a \times c\\ (a+b) \times c=a \times c+b \times c \end{split}\]

(4) 単位元： \(+, \times\) についてそれぞれ単位元がある：

すべての \(a\) に対して, \(a+0=0+a=a\),

すべての \(a\) に対して， \(a \times 1=1 \times a=a\)

となるような特別な \(R\) の要素 \(0,1\) がある・

(5) + の逆元：\(+\) については逆元がある：

すべての \(a\) に対して，ある要素 \(-a\) があり

\[ a+(-a)=(-a)+a=0 \]

整数全体\(\mathbb{Z}\)、有理数全体\(\mathbb{Q}\)、実数全体\(\mathbb{R}\)などは足し算・引き算・掛け算が定義されているため、環である
多項式全体のなす環もある：多項式\(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\)（\(n\)は0以上の整数、\(a_n,a_{n-1},\dots,a_0\)は実数）の集合\(\mathbb{R}[x]\)も環であり、多項式環 という。

可換環は歴史的には代数的整数論、代数幾何学、不変式論などに由来する。

代数的整数論：整数の拡張を考えるとき、環としての拡張を考えることになる。また素因数分解の一般化や、「イデアル」と呼ばれる概念を導入するために環の概念も整備されていった。
代数幾何学：放物線\(y=x^2\)すなわち\(x^2-y=0\)など、座標空間上の「多項式=0」の形で表される図形に関する幾何学。