練習問題メモ 16（基底変換）

問1

\[\begin{split} \begin{aligned} & \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^3 \text { を } \\ & \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{v}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \end{aligned} \end{split}\]

により定める。問 14.1 の 2 の（ア）より、 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\}\) は \(\mathbb{R}^3\) の基底である。 基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\}\) に関する \(v\) の成分を求めよ。

\[\begin{split} \begin{aligned} \boldsymbol{v} &= x_1 \boldsymbol{a} + x_2 \boldsymbol{a}_2 + x_3 \boldsymbol{a}_3\\ &= x_1 \left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) + x_2 \left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) + x_3 \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{l} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) \end{aligned} \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{aligned} {[A|v]} &= \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \quad (1と2入れ替えた) \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & -3 & -1 & -3\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \quad 1行目を2倍して2行目から引いた \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & -3 & -1 & -3\\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad 1行目を3行目から引いた \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -5 & -7\\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad 3行目を-4倍して2行目から引いた \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -5 & -7\\ 0 & 0 & -4 & -6 \end{array}\right) \quad 2を3に足す \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -5 & -7\\ 0 & 0 & 1 & 6/4 \end{array}\right) \quad 3行目を-1/4倍 \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -14/2 + 15/2\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{array}\right) \quad 3行目を5倍して2行目に足した \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 4/2 - 3/2\\ 0 & 1 & 0 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{array}\right) \quad 3行目を1行目から引く \\ &= \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1/2\\ 0 & 1 & 0 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{array}\right) \quad 2行目を2倍して1行目から引く \\ \end{aligned} \end{split}\]

\[\begin{split} v = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}\end{array}\right) \end{split}\]

問2

\(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3 \in \mathbb{R}^3\) を

\[\begin{split} \begin{gathered} \boldsymbol{a}_1=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_3=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) \\ \boldsymbol{b}_1=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \end{gathered} \end{split}\]

により定めると、 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3\right\}\) はともに \(\mathbb{R}^3\) の基底である。 基底変換 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3\right\}\) の基底変換行列を求めよ。

基底変換行列を\(P\)とおくと

\[ (\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3) = (\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3) P \]

すなわち

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 3\\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} P \end{split}\]

の\(P\)を求める。

\[ B = AP \]

とすると、

\[ P = A^{-1}B \]

なので、\(A^{-1}\)を求める

逆行列（\(A^{-1}A=I\)の解）を吐き出し法で解く

\[\begin{split} [\mathbf{A} \mid \mathbf{I}] =\left(\begin{array}{lll|lll} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

1. 行2と1を入れ替える

\[\begin{split} \left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

2. 行1を2倍して第3行から引く

\[\begin{split} \left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -6 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

3. 第2行を3倍して第3行から引く

\[\begin{split} \left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -12 & -3 & -2 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

4. 第3行を-1/12倍する

\[\begin{split} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{array}\right) \end{split}\]

5. 第3行を3倍して第1行から引く

\[\begin{split} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{array}\right) \end{split}\]

6. 第3行を2倍して第2行から引く

\[\begin{split} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{array}\right) \end{split}\]

左側の行列が単位行列になったので、右側の行列が逆行列となる

\[\begin{split} A^{-1}= \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{pmatrix} \end{split}\]

よって

\[\begin{split} P = A^{-1} B = \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{5}{6} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{7}{12} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{split}\]

※ \([A|I]\)を作って\([I|A^{-1}]\)として解くより、\([A|B]\)の両辺に逆行列をかけるかんじで\([I|A^{-1}B]\)とかで得といい

問3

次の□を埋めよ

\(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right\},\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n\right\}\) を \(n\) 次元ベクトル空間 \(V\) の基底、 \(P, Q\) をそれぞれ基底変換 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right\} \rightarrow \left\{c_1, c_2, \cdots, c_n\right\}\) の基底変換行列とする。このとき、

\[\begin{split} \begin{aligned} & \left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots & \boldsymbol{b}_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{array}\right) [1] \\ & \left(\begin{array}{lllll} \boldsymbol{c}_1 & \boldsymbol{c}_2 & \cdots & \boldsymbol{c}_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots & \boldsymbol{b}_n \end{array}\right) [2] \end{aligned} \end{split}\]

と表され、さらに、

\[ \left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{c}_1 & \boldsymbol{c}_2 & \cdots & \boldsymbol{c}_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{array}\right) [3] \]

と表される。よって、基底変換 \(\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n\right\}\) の基底変換行列は [3] である。

一方、逆の基底変換 \(\left\{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right\}\) の基底変換行列は \(([3])^{-1}=[4]\) である。

\[\begin{split} \begin{aligned} .[1] &= P\\ [2] &= Q\\ [3] &= PQ\\ [4] &= Q^{-1} P^{-1} （逆行列の計算規則(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}より） \end{aligned} \end{split}\]

問4

\(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\},\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}\) を 2 次元ベクトル空間 \(V\) の基底とし、 \(\boldsymbol{v} \in V\) とする。

1. 基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\}\) に関する \(v\) の成分 \(x_1, x_2\) の定義を書け。

2. 基底変換 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}\) の基底変換行列 \(P\) の定義を書け。

3. 1, 2 の \(x_1, x_2, P\) がそれぞれ

\[\begin{split} x_1=1, \quad x_2=2, \quad P=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

により与えられるとき、基底 \(\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}\) に関する \(\boldsymbol{v}\) の成分 \(y_1, y_2\) を求めよ。

1. 基底 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\}\) に関する \(v\) の成分 \(x_1, x_2\) の定義を書け。

\(v\)の成分\(x_1, x_2\)とは、基底の線形結合により表現される際の係数のこと。すなわち

\[\begin{split} v = x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 = \begin{pmatrix}\boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{split}\]

の\(x_1, x_2\)のこと。

2. 基底変換 \(\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\right\} \rightarrow\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}\) の基底変換行列 \(P\) の定義を書け。

ベクトル空間\(V\)の基底を別の基底に写像する行列のこと、すなわち

\[ (\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2) =(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2) P \]

となる\(P\)のこと

3. 1, 2 の \(x_1, x_2, P\) がそれぞれ

\[\begin{split} x_1=1, \quad x_2=2, \quad P=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{split}\]

により与えられるとき、基底 \(\left\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right\}\) に関する \(\boldsymbol{v}\) の成分 \(y_1, y_2\) を求めよ。

定理より、

\[\begin{split} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right) \end{split}\]

よって

\[\begin{split} P^{-1} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right) \end{split}\]

とすれば求められそう

\[\begin{split} \begin{aligned} {[P|I]} &= \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{aligned} \end{split}\]

\[\begin{split} P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{split}\]

よって

\[\begin{split} \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} }_{P^{-1}} \underbrace{ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} }_{ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) } = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix} \end{split}\]

別の方法を探した場合

\[\begin{split} (\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{split}\]

とすると

\[ (\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2) =(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2) P \]

は

\[\begin{split} \begin{aligned} (\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2) &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{11} + a_{12}\\ a_{21} & a_{21} + a_{22} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{aligned} v &= \boldsymbol{a}_1 + 2 \boldsymbol{a}_2\\ &= \begin{pmatrix} 3 a_{11} + 2 a_{12}\\ 3 a_{21} + 2 a_{22} \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{aligned} v &= y_1 \boldsymbol{b}_1 + y_2 \boldsymbol{b}_2\\ &= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 a_{11} + 2 a_{12}\\ 3 a_{21} + 2 a_{22} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{11} + a_{12}\\ a_{21} & a_{21} + a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

\[\begin{split} [B|v]= \begin{aligned} \left( \begin{array}{cc|c} a_{11} & a_{11} + a_{12} & 3 a_{11} + 2 a_{12}\\ a_{21} & a_{21} + a_{22} & 3 a_{21} + 2 a_{22} \end{array} \right) \end{aligned} \end{split}\]

…