練習問題メモ 16（基底変換）

練習問題メモ 16（基底変換）#

問1#

\begin{array}{r} \begin{aligned} a_{1}, a_{2}, a_{3}, v \in R^{3} を \\ a_{1} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), a_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), a_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), v = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \end{aligned} \end{array}

により定める。問 14.1 の 2 の（ア）より、 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ は $R^{3}$ の基底である。基底 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ に関する $v$ の成分を求めよ。

\begin{array}{r} \begin{aligned} v & = x_{1} a + x_{2} a_{2} + x_{3} a_{3} \\ = x_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + x_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + x_{3} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} \begin{aligned} [A | v] & = (\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}) (1 と 2 入 れ 替 え た) \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & - 3 & - 1 & - 3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}) 1 行 目 を 2 倍 し て 2 行 目 か ら 引 い た \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & - 3 & - 1 & - 3 \\ 0 & - 1 & 1 & 1 \end{array}) 1 行 目 を 3 行 目 か ら 引 い た \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 5 & - 7 \\ 0 & - 1 & 1 & 1 \end{array}) 3 行 目 を - 4 倍 し て 2 行 目 か ら 引 い た \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 5 & - 7 \\ 0 & 0 & - 4 & - 6 \end{array}) 2 を 3 に 足 す \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 5 & - 7 \\ 0 & 0 & 1 & 6 / 4 \end{array}) 3 行 目 を - 1 / 4 倍 \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 14 / 2 + 15 / 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 \end{array}) 3 行 目 を 5 倍 し て 2 行 目 に 足 し た \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 4 / 2 - 3 / 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 / 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 \end{array}) 3 行 目 を 1 行 目 か ら 引 く \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & - 1 / 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 / 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 / 2 \end{array}) 2 行 目 を 2 倍 し て 1 行 目 か ら 引 く \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} v = (\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{array}) \end{array}

問2#

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3} \in R^{3}$ を

\begin{array}{r} \begin{array}{c} a_{1} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}), a_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}), a_{3} = (\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \\ b_{1} = (\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}), b_{2} = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}), b_{3} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \end{array} \end{array}

により定めると、 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}, {b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ はともに $R^{3}$ の基底である。基底変換 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}} \to {b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ の基底変換行列を求めよ。

基底変換行列を $P$ とおくと

(b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) P

すなわち

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{array}) P \end{array}

の $P$ を求める。

B = A P

とすると、

P = A^{- 1} B

なので、 $A^{- 1}$ を求める

逆行列（ $A^{- 1} A = I$ の解）を吐き出し法で解く

\begin{array}{r} [A ∣ I] = (\begin{array}{llllll} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

行2と1を入れ替える

\begin{array}{r} (\begin{array}{llllll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}

行1を2倍して第3行から引く

\begin{array}{r} (\begin{array}{llllll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 6 & 0 & - 2 & 1 \end{array}) \end{array}

第2行を3倍して第3行から引く

\begin{array}{r} (\begin{array}{llllll} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 12 & - 3 & - 2 & 1 \end{array}) \end{array}

第3行を-1/12倍する

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \end{array}) \end{array}

第3行を3倍して第1行から引く

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \end{array}) \end{array}

第3行を2倍して第2行から引く

\begin{array}{r} (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \end{array}) \end{array}

左側の行列が単位行列になったので、右側の行列が逆行列となる

\begin{array}{r} A^{- 1} = (\begin{array}{c} - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \end{array}) \end{array}

よって

\begin{array}{r} P = A^{- 1} B = (\begin{array}{c} - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \end{array}) (\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{5}{6} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{7}{12} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}) \end{array}

※ $[A | I]$ を作って $[I | A^{- 1}]$ として解くより、 $[A | B]$ の両辺に逆行列をかけるかんじで $[I | A^{- 1} B]$ とかで得といい

問3#

次の□を埋めよ

${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}, {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}}, {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}}$ を $n$ 次元ベクトル空間 $V$ の基底、 $P, Q$ をそれぞれ基底変換 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} \to {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}}, {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}} \to {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}}$ の基底変換行列とする。このとき、

\begin{array}{r} \begin{aligned} (\begin{array}{llll} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{array}) = (\begin{array}{llll} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{array}) [1] \\ (\begin{array}{lllll} c_{1} & c_{2} & \dots & c_{n} \end{array}) = (\begin{array}{llll} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{array}) [2] \end{aligned} \end{array}

と表され、さらに、

(\begin{array}{llll} c_{1} & c_{2} & \dots & c_{n} \end{array}) = (\begin{array}{llll} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{array}) [3]

と表される。よって、基底変換 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}} \to {c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}}$ の基底変換行列は [3] である。

一方、逆の基底変換 ${c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}} \to {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ の基底変換行列は $([3])^{- 1} = [4]$ である。

\begin{array}{r} \begin{aligned} . [1] & = P \\ [2] & = Q \\ [3] & = P Q \\ [4] & = Q^{- 1} P^{- 1} （ 逆 行 列 の 計 算 規 則 (A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1} よ り ） \end{aligned} \end{array}

問4#

${a_{1}, a_{2}}, {b_{1}, b_{2}}$ を 2 次元ベクトル空間 $V$ の基底とし、 $v \in V$ とする。

基底 ${a_{1}, a_{2}}$ に関する $v$ の成分 $x_{1}, x_{2}$ の定義を書け。
基底変換 ${a_{1}, a_{2}} \to {b_{1}, b_{2}}$ の基底変換行列 $P$ の定義を書け。
1, 2 の $x_{1}, x_{2}, P$ がそれぞれ

\begin{array}{r} x_{1} = 1, x_{2} = 2, P = (\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{array}

により与えられるとき、基底 ${b_{1}, b_{2}}$ に関する $v$ の成分 $y_{1}, y_{2}$ を求めよ。

基底 ${a_{1}, a_{2}}$ に関する $v$ の成分 $x_{1}, x_{2}$ の定義を書け。

$v$ の成分 $x_{1}, x_{2}$ とは、基底の線形結合により表現される際の係数のこと。すなわち

\begin{array}{r} v = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} = (\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) \end{array}

の $x_{1}, x_{2}$ のこと。

基底変換 ${a_{1}, a_{2}} \to {b_{1}, b_{2}}$ の基底変換行列 $P$ の定義を書け。

ベクトル空間 $V$ の基底を別の基底に写像する行列のこと、すなわち

(b_{1}, b_{2}) = (a_{1}, a_{2}) P

となる $P$ のこと

1, 2 の $x_{1}, x_{2}, P$ がそれぞれ

\begin{array}{r} x_{1} = 1, x_{2} = 2, P = (\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{array}

により与えられるとき、基底 ${b_{1}, b_{2}}$ に関する $v$ の成分 $y_{1}, y_{2}$ を求めよ。

定理より、

\begin{array}{r} (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) = P (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}) \end{array}

よって

\begin{array}{r} P^{- 1} (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}) \end{array}

とすれば求められそう

\begin{array}{r} \begin{aligned} [P | I] & = (\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}) \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{r} P^{- 1} = (\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{array}

よって

\begin{array}{r} \underset{P^{- 1}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array})}} \underset{(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array})}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})}} = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) \end{array}

練習問題メモ 16（基底変換）

Contents

練習問題メモ 16（基底変換）#

問1#

問2#

問3#

問4#