多重積分

多重積分#

2変数の定積分#

$x y$ 平面の領域 $R$ で定義された連続な関数を $f (x, y)$ とする。領域 $R$ を，おのおのの面積が $Δ A_{1}, Δ A_{2}, \dots, Δ A_{n}$ の $n$ 個の小領域 $R_{1}, R_{2}, \dots, R_{n}$ に分割する。

小領域 $R_{1}$ 内に点 $P_{1} (ξ_{1}, η_{1}), R_{2}$ 内に点 $P_{2} (ξ_{2}, η_{2}), \dots, R_{n}$ 内に点 $P_{n}$ $(ξ_{n}, η_{n})$ を選び，積和

\sum_{k = 1}^{n} f (P_{k}) Δ A_{k} = \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}, η_{k}) Δ A_{k}

を作る。各小領域の直径が0に近づくように分割を細かくしていく。このときの極限値を

\iint_{R} f (x, y) d A = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}, η_{k}) Δ A_{k}

と書き、関数 $f (x, y)$ の領域 $R$ における 2重積分 （double integral）という。積分記号の下の添字 $R$ は $x, y$ の値の領域を表している。

（参考）1変数の定積分

区間 $a ≦ x ≦ b$ を、おのおのの長さが $Δ x_{1}, Δ x_{2}, \dots, Δ x_{n}$ の $n$ 個の小区間 $I_{1}, I_{2}$ , $\dots, I_{n}$ に分割する。小区間 $I_{1}$ 内に点 $ξ_{1}, I_{2}$ 内に点 $ξ_{2}, \dots, I_{n}$ 内に点 $ξ_{n}$ を選び,積和 $\sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) Δ x_{k}$ をつくる。各小区間の長さが 0 になるように分割を細かくしていく。

このときの極限値が定積分

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) Δ x_{k}

である。

多重積分の例#

例：2次元分布

2 つの連続型確率変数 $x$ と $y$ に対して次の条件を満たす関数 $f (x, y)$ を $x$ と $y$ の 同時確率密度関数 と呼ぶ.

f (x, y) \geq 0, \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d x d y = 1

$(x, y)$ が領域 $D$ に入る確率を

\Pr {(x, y) \in D} = \iint_{D} f (x, y) d x d y

と求める. 特に, $D = [a, b] \times [c, d]$ なら次のようになる.

\Pr {(x, y) \in D} = \Pr {a \leq x \leq b, c \leq y \leq d} = \int_{a}^{b} {\int_{c}^{d} f (x, y) d y} d x

例：2次元分布の期待値

2 つの連続型確率変数 $x$ と $y$ について $f (x, y)$ を同時確率密度関数, $f_{x} (x)$ を $x$ の周辺確率密度関数, $f_{y} (y)$ を $y$ の周辺確率密度関数とする. $g (x, y)$ を $x$ と $y$ の関数とするとき $g (x, y)$ の期待値を次のように定義する.

E {g (x, y)} = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} g (x, y) f (x, y) d x d y

多重積分の変数変換#

$x = ϕ (s, t), y = ψ (s, t)$ と変数変換する. ただし, 変換は 1 対 1 であり, $ϕ$ と $ψ$ は微分可能で, 偏導関数は連続とする. 次式が成り立つ.

\begin{array}{r} \begin{aligned} \iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D^{'}} f (ϕ (s, t), ψ (s, t)) | J | d s d t \\ D^{'} = {(s, t) : x = ϕ (s, t), y = ψ (s, t), (x, y) \in D} \end{aligned} \end{array}

ここで, $J$ は $2 \times 2$ 行列の行列式

\begin{array}{r} J = | \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{array} | = | \begin{array}{ll} \frac{\partial ϕ}{\partial s} & \frac{\partial ϕ}{\partial t} \\ \frac{\partial ψ}{\partial s} & \frac{\partial ψ}{\partial t} \end{array} | = \frac{\partial ϕ}{\partial s} \frac{\partial ψ}{\partial t} - \frac{\partial ϕ}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial s} \end{array}

であり，Jを ヤコビアン (Jacobian) と呼ぶ. $| J |$ は $J$ の絶対値である. 変換が 1 対 1 なので $J \neq 0$ である.

（参考）1変数の積分の変数変換

1 変数関数 $y = f (x)$ の定積分での変数変換の方法を述べた. それは, 単調関数により $x = g (t)$ と変数変換するとき

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (t)) \frac{d x}{d t} d t = \int_{α}^{β} f (g (t)) g^{'} (t) d t

となる. ここで, $a = g (α), b = g (β)$ である.

例：確率密度関数の変数変換

2 つの連続型確率変数 $x$ と $y$ の同時確率密度関数を $f (x, y)$ とする. 変数変換 $x =$ $ϕ (w, z), y = ψ (w, z)$ を考える. この変数変換は 1 対 1 とする. このとき，変換後の $w$ と $z$ の同時確率密度関数 $f_{w z} (w, z)$ は次式である.

f_{w z} (w, z) = f (ϕ (w, z), ψ (w, z)) | J |

ただし, $J$ はヤコビアン

\begin{array}{r} J = | \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial z} \end{array} | = | \begin{array}{ll} \frac{\partial ϕ}{\partial w} & \frac{\partial ϕ}{\partial z} \\ \frac{\partial ψ}{\partial w} & \frac{\partial ψ}{\partial z} \end{array} | \end{array}

であり, $| J |$ は $J$ の絶対値である。

例：2つのガンマ分布からの変換

$x$ はガンマ分布 $G (α, λ)$ に従い、 $y$ はガンマ分布 $G (β, λ)$ に従い ( $λ$ は共通)、 $x$ と $y$ は独立とする。 $w = x / (x + y), z = x + y$ と変数変換するとき、 $w$ と $z$ がどのような確率分布に従うのかを考える。

$x$ と $y$ は独立だから、それらの同時確率密度関数は $x$ と $y$ の周辺確率密度関数の積になる。

f (x, y) = \frac{λ^{α + β}}{Γ (α) Γ (β)} x^{α - 1} y^{β - 1} e^{- λ (x + y)}

変換式を $x$ と $y$ について解くと $x = w z, y = (1 - w) z$ となる。

これより, ヤコビアンは $J = z$ となる.

\begin{array}{r} J = | \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial z} \end{array} | = | \begin{array}{cc} z & w \\ - z & 1 - w \end{array} | = z (1 - w) + w z = z \end{array}

また, $x : 0 \to \infty, y : 0 \to \infty$ のとき $w : 0 \to 1$ , $z : 0 \to \infty$ である. したがって, 変換後の $w$ と $z$ の同時確率密度関数は, $Γ (α) Γ (β) =$ $Γ (α + β) B (α, β)$ を用いて, 次のようになる.

\begin{array}{r} \begin{aligned} f_{w z} (w, z) = \frac{λ^{α + β}}{Γ (α) Γ (β)} (w z)^{α - 1} {(1 - w) z}^{β - 1} e^{- λ z} z \\ = {\frac{λ^{α + β}}{Γ (α + β)} z^{α + β - 1} e^{- λ z}} {\frac{1}{B (α, β)} w^{α - 1} (1 - w)^{β - 1}} \end{aligned} \end{array}

上式はガンマ分布 $G (α + β, λ)$ の確率密度関数とベータ分布 $B e (α, β)$ の確率密度関数 ((11.26) 式を参照) の積になっている. $f_{w z} (w, z)$ を $w$ のとううる範囲で積分することにより $z$ の周辺分布はガンマ分布 $G (α + β, λ)$ となり, $z$ のとりうる範囲で積分すれば $w$ の周辺分布はべータ分布 $B e (α, β)$ となる. また, $w$ と $z$ は，同時確率密度関数が周辺確率密度関数の積になるので独立である。

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多重積分の変数変換#