因数分解

因数分解#

因数定理

多項式 $f (x)$ について、 $f (a) = 0$ なら、 $f (x)$ は $(x - a)$ を因数に持つ。

例：

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ に対して $x = 1$ を代入すると

f (1) = 1 - 2 + 1 = 0

であり、実際 $f (x) = (x - 1)^{2}$ である。

$f (a) = 0$ となる $a$ の求め方

\pm \frac{定 数 項 の 約 数}{最 高 次 の 項 の 約 数}

が候補となる

例：

f (x) = x^{2} - 5 x + 6

候補は

\pm \frac{6}{1}, \pm \frac{3}{1}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{1}{1}

となる。実際に関数に代入してみると

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (6) & = 36 - 30 + 6 = 12 \\ f (- 6) & = 36 + 30 + 6 = 72 \\ f (3) & = 9 - 15 + 6 = 0 \\ f (- 3) & = 9 + 15 + 6 = - 15 \\ f (2) & = 4 - 10 + 6 = 0 \\ f (- 2) & = 4 + 10 + 6 = 20 \\ f (1) & = 1 - 5 + 6 = 2 \\ f (- 1) & = 1 + 5 + 6 = 12 \end{aligned} \end{array}

で $x = 2, 3$ のとき $f (x) = 0$ となっている

組立除法は多項式 $\div (x - p)$ の余りと商を素早く求める手法

の説明がわかりやすいので省く

例：

f (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x - 4

を因数分解せよ

まず因数 $(x - a)$ の $a$ を探索する。候補は

\pm \frac{4}{4}, \pm \frac{4}{2}, \pm \frac{4}{1}, \pm \frac{2}{4}, \pm \frac{2}{2}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{1}

となる。

まず $\pm 1$ について検討すると

\begin{array}{r} \begin{aligned} f (1) & = 4 + 6 - 6 - 4 = 0 \end{aligned} \end{array}

なので $(x - 1)$ が因数のひとつであることがわかった。

次に、組立除法で $(4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x - 4) / (x - 1)$ を求める

\begin{array}{r} \begin{array}{ccc} 4 & 6 & - 6 & - 4 \\ 4 & 10 & 4 \\ 4 & 10 & 4 & 0 \end{array} \end{array}

より商の $4 x^{2} + 10 x + 4$ と余り $0$ が得られるので

f (x) = (x - 1) (4 x^{2} + 10 x + 4)

$4 x^{2} + 10 x + 4$ は、たすきがけ法などで解くと $(4 x + 2) (x + 2)$ なので

f (x) = (x - 1) (4 x + 2) (x + 2)