2次形式と定値性

2次形式と定値性#

2次形式#

変数の2次の項のみからなる式を 2次形式（quadratic form） と呼ぶ。 $n$ 変数 $x_{1}, \dots, x_{n}$ の2次形式は次のように書ける

\begin{array}{r} f = a_{11} x_{1}^{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + a_{n n} x_{n}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + 2 a_{13} x_{1} x_{3} + \dots + 2 a_{n (n - 1)} x_{n} x_{n - 1} \end{array}

2次形式の別表記#

これは次のように表すこともできる。

f = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}

ただし、 $a_{i j} = a_{j i}$ とする。

例：

n = 2

の場合

\begin{array}{r} \begin{aligned} f & = a_{11} x_{1}^{2} + a_{22} x_{2}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} \\ = a_{11} x_{1}^{2} + a_{12} x_{1} x_{2} + a_{21} x_{1} x_{2} + a_{22} x_{2}^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} a_{i j} x_{i} x_{j} \end{aligned} \end{array}

2次形式の行列表記#

行列

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{array}), x = (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \end{array}

が $a_{i j} = a_{j i}$ のとき、すなわち $A$ が対称行列のとき、2次形式は次のようなベクトルの内積として表せる

f = (x, A x)

このとき $A$ を2次形式 $f$ の 係数行列 と呼ぶ。

例

\begin{array}{r} f = ((\binom{x}{y}), (\begin{array}{ll} a & b \\ b & c \end{array}) (\binom{x}{y})) = ((\binom{x}{y}), (\binom{a x + b y}{b x + c y})) = x (a x + b y) + y (b x + c y) = a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} \end{array}

2次形式の係数は対称行列で表せる#

2次形式の係数行列は対称行列で表すことができる。そのほうがシンプルになるし、対称行列で表せるという定理もある。

定義：反対称行列（交代行列）

$(i, j)$ 要素が $(j, i)$ 要素の符号を反転させた値になっていて対角要素が0の正方行列、すなわち $A^{⊤} = - A$ となる行列を 反対称行列 (antisymmetric matrix) あるいは 交代行列 (alternating matrix) という。

例えば

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & a \\ - a & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 0 & 2 & - 1 \\ - 2 & 0 & 4 \\ 1 & - 4 & 0 \end{array}) \end{array}

は反対称行列である。

定理：対称部分と反対称行列への分解

任意の $n$ 次正方行列 $A$ は次のように書くことができる

\begin{array}{r} \begin{aligned} A & = \frac{1}{2} (A + A^{⊤}) + \frac{1}{2} (A - A^{⊤}) \\ = A_{s} + A_{a} \end{aligned} \end{array}

ただし、

A_{s} = \frac{1}{2} (A + A^{⊤}), A_{a} = \frac{1}{2} (A - A^{⊤})

である。 $A_{s}$ を $A$ の対称部分 、 $A_{a}$ を $A$ の反対称部分 と呼ぶ。

ここで $A_{s} = \frac{1}{2} (A + A^{⊤})$ は対称行列、 $A_{a} = \frac{1}{2} (A - A^{⊤})$ は反対称行列となっている。

定理

$(x, A x) = 0$ となる $O$ でない行列 $A$ は反対称行列である

以上から次の定理が導かれる

定理

行列 $A$ を係数とする2次形式は、その対称部分 $A_{s}$ のみで表すことができる

2次形式の標準形#

対称行列の対角化#

定理

$n \times n$ 対称行列 $A$ の固有値を $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ とおき、対応する固有ベクトルの正規直交系を $u_{1}, \dots, u_{n}$ とし、 $u_{1}, \dots, u_{n}$ を列とする行列を $U = (u_{1} \dots u_{n})$ とすると、次式が成り立つ。

\begin{array}{r} U^{⊤} A U = (\begin{array}{llll} λ_{1} \\ λ_{2} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) \end{array}

対称行列のスペクトル分解（固有値分解）#

定理

$n \times n$ 対称行列 $A$ の固有値を $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ 、対応する固有ベクトルの正規直交系を $u_{1}, \dots, u_{n}$ とし、 $u_{1}, \dots, u_{n}$ を列とする行列を $U = (u_{1} \dots u_{n})$ とすると、次式が成り立つ。

\begin{array}{r} A = U (\begin{array}{llll} λ_{1} \\ λ_{2} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) U^{⊤} \end{array}

2次形式の標準形#

固有ベクトルの行列 $U$ と変数 $x$ の線形結合を $x^{'} = U^{⊤} x$ と書く。これは左から $U$ をかけて $x = U x^{'}$ と書くこともできる。

このとき、2次形式 $(x, A x)$ は次のように変形できる

\begin{array}{r} \begin{aligned} (x, A x) & = (U x^{'}, A U x^{'}) = (x^{'}, U^{⊤} A U x^{'}) = (x^{'}, (\begin{array}{lll} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) x^{'}) \\ = λ_{1} {x_{1}^{'}}^{2} + λ_{2} {x_{2}^{'}}^{2} + \dots + λ_{n} x_{n}^{' 2} \end{aligned} \end{array}

このような変数の2乗の線形結合を2次形式の 標準形 と呼ぶ

標準形にすると何が嬉しいのか？ - 標準形による主軸変換の導出#

標準形は $x^{'} y^{'}$ の項がなく2乗の項だけになっている。

例えば

2 {x^{'}}^{2} + 7 {y^{'}}^{2} = 1

があるとする。これを書き換えると

\frac{x^{' 2}}{(1 / \sqrt{2})^{2}} + \frac{y^{' 2}}{(1 / \sqrt{7})^{2}} = 1

となる。これは楕円の方程式と同じ形。ここから幾何学的な解釈が可能になる。

楕円の標準形方程式

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$a$ は長軸半径（楕円の長い方の軸の半分）
$b$ は短軸半径（楕円の短い方の軸の半分）

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標準形にする前の形

6 x^{2} + 4 x y + 3 y^{2} = 1

も同様に楕円となっている。

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$x = U x^{'}$ は $x^{'}$ を $U$ だけ回転させたもの。あるいは $x$ を $U^{- 1}$ だけ回転させたものが $x^{'}$ となっている。

$U$ は直交行列なので、回転と鏡映をあわせた写像 （ 広義回転 ）である。

合同変換

正方行列 $A$ を正則行列 $U$ によって

A^{'} = U^{⊤} A U

とする変換を 合同変換（congruence transformation） という。

「合同」とは形が変わらないこと、つまり広義回転だけをすること。

Tip

行列の対角化とは、楕円を回転させてその主軸（長軸と短軸）を座標軸に揃えることに等しい

$x y$ 座標系を $U$ だけ回転すると、長軸と短軸に一致する。

単位ベクトル $e_{1}, e_{2}$ を $U = (u_{1}, u_{2})$ で回転させると、 $U e_{1} = u_{1}, U e_{2} = u_{2}$ なので、固有ベクトル $u_{1}, u_{2}$ は楕円の長軸と短軸（2つを合わせて主軸という）の方向ということ。

$A$ の固有ベクトルは、楕円 $(x, A x) = 1$ の主軸方向である ということ。

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まとめ

楕円 $(x, A x) = 1$ は、 $A$ の固有ベクトル $u_{1}, u_{2}$ がその主軸方向であり、 $u_{1}, u_{2}$ の方向をそれぞれ $x^{'}, y^{'}$ 軸にとると、その楕円が $λ_{1} {x^{'}}^{2} + λ_{2} {y^{'}}^{2} = 1$ と書ける。

このように主軸を座標軸にとった座標系で表すことを 主軸変換 とよび、そのときの固有値を主値と呼ぶ。

正定値と半正定値#

定義

$n \times n$ 実対称行列 $A$ が、 $n$ 次の零でない任意のベクトル $x$ に対して、2次形式 $(x, A x)$ が必ず正になるとき、すなわち

(x, A x) > 0

となるとき、 $A$ は 正定値 （または正値 positive definite）であるという。

また、

(x, A x) \geq 0

となるとき、 $A$ は 半正定値 （または 半正値 positive-semidefinite）であるという。

固有値との関係#

定理

正定値行列 $A \in R^{n \times n}$ の固有値 $λ_{i} (i = 1, \dots, n)$ はすべて正である（ $λ_{i} > 0 \forall i$ ）

定理

半正定値行列 $A \in R^{n \times n}$ の固有値 $λ_{i} (i = 1, \dots, n)$ はすべて零以上である（ $λ_{i} \geq 0 \forall i$ ）

2次形式と定値性

Contents

2次形式と定値性#

2次形式#

2次形式の別表記#

2次形式の行列表記#

2次形式の係数は対称行列で表せる#

関連する定理#

2次形式の標準形#

対称行列の対角化#

対称行列のスペクトル分解（固有値分解）#

2次形式の標準形#

標準形にすると何が嬉しいのか？ - 標準形による主軸変換の導出#

正定値と半正定値#

固有値との関係#