対称行列$A$の一つの固有値を$\lambda$、対応する固有ベクトルを$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ とすると、定義より$Ax=\lambda x$である。両辺の複素共役をとったものと合わせると次のように書くことができる。

$\overline{x}$と第1式の両辺を、$x$と第2式の両辺をそれぞれ内積をとると

となる。「正方行列$A$に対して $⟨\mathit{A}\mathit{x},\mathit{y}⟩=⟨\mathit{x},{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{y}⟩$ が成り立つ」という定理と、また$A$は対称行列のため$A=A^{\mathrm{\top }}$であることから、

となり、2つの式の左辺は等しいことがわかる。2つの式の辺々を差し引くと

となる。固有ベクトルは$0$ではないから$⟨x,\overline{x}⟩=|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2>0$であり、したがって$\lambda =\overline{\lambda }$であり、ゆえに$\lambda$は実数である。

固有ベクトルは連立1次方程式

の解であり、係数がすべて実数であるから解も実数である。

対称行列$A$の2つの異なる固有値を${\lambda }_1,{\lambda }_2$、対応する固有ベクトルを$x_1,x_2$とする。

第1式を$x_2$と内積をとり、第2式を$x_1$と内積をとると

$A$は対称行列なので

となる。そのため上の2つの式の辺々を差し引くと

${\lambda }_1-{\lambda }_2\ne 0$であるから、$⟨x_1,x_2⟩=0$であり、$x_1,x_2$は互いに直交している

の両辺に右から${\mathit{P}}^{\mathrm{\top }}$をかけると得られる。