概要

概要#

グラフィカルモデルは、確率変数同士の依存関係を「グラフ（ノードとエッジ）」として表現する枠組み

分類#

エッジに方向があるかどうかで大別される。 DAGはさらに時系列要素を考慮するかどうかで別れる

  • 有向グラフィカルモデル（ベイジアンネットワーク、有向非巡回グラフ、DAG）

    • 静的モデル（時系列を考慮しない）

    • 動的モデル（時系列あり）

  • 無向グラフィカルモデル

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ベイジアンネットワーク（有向非巡回グラフ, DAG）#

  • ノード：確率変数

  • 有向エッジ：原因 → 結果 の方向を示す

  • サイクル（循環）は持たない（DAG: Directed Acyclic Graph）

という構造を持つ確率モデル

また、全体の確率分布を条件付き確率の積で表せる。（例：\(P(X,Y,Z)=P(X)P(Y∣X)P(Z∣Y)\)）

定義

\(V\) をノードの集合 \(\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}\)、\(E\) をエッジの集合とする。このとき、双方向矢線のない非巡回的有向グラフ \(G = (V, E)\) が、\(V = \{X_1, X_2, \ldots, X_n\}\) の同時分布のグラフ \(G\) に従う逐次的因数分解の形、すなわち

\[ P(X_1, X_2, \ldots, X_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i \mid pa(X_i)) \]

の形に規定するとき、このグラフ \(G\) をベイジアンネットワークという（Pearl 2009, 黒木 2015）。

ここで \(pa(X_i)\) は \(X_i\) の直接の原因（親、parent）となる変数の集合を意味する。（例えば\(X_p \to X_i\)という関係なら、\(X_p \in pa(X_i)\)

構造因果モデル#

(構造)因果モデルでは、因果関係を決定論的な関数方程式で表す。確率的な要因は誤差\(\varepsilon_i\)に起因すると考える。

\[ X_i=f_i\left(p a\left(X_i\right), \varepsilon_i\right)\quad i=1, \ldots, n \]

因果ダイアグラム#

構造因果モデルを描いたグラフを因果ダイアグラムと呼ぶ。

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