微積分学の基本定理#
微積分学の基本定理
関数\(f(x)\)が閉区間\(a \leq x \leq b\)で連続であれば、関数
\[
F(x)=\int_a^x f(t) d t
\]
は開区間\(a < x < b\)で微分可能であって
\[
F'(x) = f(x)
\]
関数 \(f(x)\) の \(a\) から \(b\) までの定積分 \(\int_a^b f(x) d x\) は、 \(a\)を固定すると上限 \(b\) が決まればその値が定まるから、\(b\)の関数とみなすことができる。\(b\)を改めて\(x\)と表し、関数
\[
F(x)=\int_a^x f(t) d t
\]
を定義する。
定積分の性質より、
\[\begin{split}
\begin{aligned}
F(x+\Delta x) & =\int_a^{x+\Delta x} f(t) d t \\
& =\int_a^x f(t) d t+\int_x^{x+\Delta x} f(t) d t \\
& =F(x)+\int_x^{x+\Delta x} f(t) d t
\end{aligned}
\end{split}\]
平均値の定理を使って、
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\int_x^{x+\Delta x} f(t) d t & =(x+\Delta x-x) f(x+\theta \Delta x) \\
& =\Delta x \cdot f(x+\theta \Delta x) \quad(0<\theta<1)
\end{aligned}
\end{split}\]
なので、上の2つの式から
\[
\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=f(x+\theta \Delta x) \quad(0<\theta<1)
\]
関数\(f(x)\)は連続だから、\(\Delta x \to 0\)のとき、\(f(x+\theta \Delta x) \to f(x)\)。また左辺は\(\Delta x \to 0\)のとき\(F'(x)\)に等しいから、
\[
F'(x) = f(x)
\]
が得られる。これを 微積分学の基本定理（fundamental theorem of differential and integral calculus）という。