E-value

E-value#

E-Valueは相対リスク（リスク比）などの比率で関連性を測るとき、未観測の交絡因子の影響の強さを簡単に測る方法。

観測された処置と結果の関連性（相対リスク）がすべて交絡因子による影響だと仮定すると、どれだけ交絡因子の影響が強いのか？ を示す。

E-value (VanderWeele & Ding, 2017)

\[ \text { E-Value }= \text{RR} +\sqrt{ \text{RR} \times( \text{RR} -1)} \]

ここで \(\text{RR}\)は 相対リスク（relative risk） で、例えば「キャンペーンの有無」が「商品の購入の有無」に与える効果を調べたい場合だと

\[ \text{RR} = \frac{ 処置群での購入の割合 }{ 対照群での購入の割合 } \]

となる。これはRRが1より大きい場合で、もしRRが1より小さくなるなら逆数を用いる。

解釈#

E-valueが大きいほど、観測された結果と処置の関係は因果関係に近い（ロバストである）と解釈される。

例えばRRが1.5（処置で1.5倍改善）だとE-valueは2.37になる。これは、 もし未観測の交絡因子でこの推定結果を説明するには、未観測の交絡因子が結果変数と処置変数の両方と2.37倍の相対リスクで関連している必要がある ことを示す。

# 例
p_treatment = 0.15 # 処置群での購入割合
p_control = 0.10 # 対照群での購入割合

RR = p_treatment / p_control

import math
E = RR + math.sqrt(RR * (RR - 1))
print(f"E-value: {E:.3g}")

E-value: 2.37

注意点#

  • リスク比など比率で効果を測るときに使う（ATEのような差を見る場合は不適当）

  • 媒介変数がなく、処置→結果と単純な関係を想定

導出#

結果を\(Y\)、処置を\(A\)、未観測の交絡因子を\(U\)とする。

  • \(U \to A\)の影響の強さを相対リスクで\(RR_{AU}\)と表す

  • \(U \to Y\)の影響の強さを相対リスクで\(RR_{UY}\)と表す

とすると、未観測の交絡因子の影響を受けた観測された相対リスクの上限（bounding factor, \(RR_{obs} \leq BF\)）は

\[ BF = \frac{R R_{U Y} \times R R_{A U} }{ RR_{U Y} + RR_{A U} - 1 } \]

となる（Ding & VanderWeele, 2016）。

（ここからは推測を含む）

ここで \(RR_{U Y} = RR_{A U}\)と仮定して \(E\)とおく

\[ BF = \frac{E^2}{2E - 1} \]

ここで、 「観測された処置と結果の関連性\(RR_{obs}\) が すべて未観測の交絡因子による影響である場合（\(RR_{obs} = BF\)）に交絡の強さ \(E=RR_{U Y} = RR_{A U}\) がいくつ必要か?」 という問題を解くことにする。

\[ RR_{obs} = \frac{E^2}{2E - 1} \]

を変形すると

\[ E^2 - 2 E \times RR_{obs} + RR_{obs} = 0 \]

という二次方程式に整理できる。

二次方程式 \(x^2+b x+c=0\) の解の公式 \(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 c}}{2}\) に対して \(b=-2 RR_{obs}, c = RR_{obs}\)とすると

\[\begin{split} \begin{aligned} E &= \frac{ 2 RR_{obs} \pm \sqrt{ 4 RR_{obs}^2 - 4 RR_{obs}}}{2}\\ &= \frac{ 2 RR_{obs} \pm 2 \sqrt{ RR_{obs}^2 - RR_{obs}}}{2} \\ &= RR_{obs} \pm \sqrt{ RR_{obs} (RR_{obs} - 1)} \end{aligned} \end{split}\]

\(RR_{obs}\)が正の場合に限定すれば

\[ E = RR_{obs} + \sqrt{ RR_{obs} (RR_{obs} - 1)} \]

パッケージ#

DoWhyパッケージで作図を含めた関数がある

Sensitivity Analysis for Regression Models — DoWhy documentation

参考文献
Contents