Rosenbaum Bounds#
Rosenbaumは結果変数が2値の場合に利用できる簡単な方法を提案した。
処置変数\(z_i \in \{0, 1\}\)が、ロジスティック回帰で、
\[
\log \left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right)
= g(\mathrm{x}_i) + \gamma \ u_i, \quad \text { where } u_i \in[0,1]
\]
と表される、つまり傾向スコア \(\pi_i = p(z_i = 1 \mid \mathrm{x}_i)\) が観測された共変量の関数 \(g(\mathrm{x}_i)\) だけでなく未観測の交絡因子 \(u_i \ (0\leq u_i \leq 1)\) にも依存すると考える。
未観測の交絡因子\(u_i\)からの係数\(\gamma\)を変化させることで、その影響を調べることができる。
\(\Gamma = \exp \gamma\) とおくと、全く同じ共変量の値をもつ2つの対象者\(i\)と\(i'\)についてのオッズ比は
\[
\frac{1}{\Gamma} \leq \frac{\pi_{i} / (1-\pi_{i'})}{\pi_{i'} /(1-\pi_{i})} \leq \Gamma
,\quad \text {for all } i \text{ with } \mathbf{x}_{i} = \mathbf{x}_{i'},
\]
となる。
また同値の別表現で
\[
\frac{1}{1+\Gamma} \leq P(z_{i}=1, z_{i'}=0 \mid \mathbf{x}_i) \leq \frac{\Gamma}{1+\Gamma}
\]
ともなる。
これらの区間は Rosenbaum Bounds と呼ばれ、ローゼンバウムからは検定に対する感度分析が提案されている。
参考#
星野崇宏. (2009). 調査観察データの統計科学: 因果推論・選択バイアス・データ融合.