IRTと協調フィルタリング

Bergner ら（2012）“Machine-Learning Item Response Theory” 学習者×設問の正誤データを、CFの評価（予測精度・CV）でモデル選択する、という立場。 https://eric.ed.gov/?id=ED537194

Bergner / Halpin / Vie（2023）“Multidimensional IRT in the Style of Collaborative Filtering” タイトル通り「CF流のMIRT」。高次元・疎行列を前提に、JML + CV で運用する話。 Multidimensional Item Response Theory in the Style of Collaborative Filtering | Psychometrika | Cambridge Core

[2301.00909] Multidimensional Item Response Theory in the Style of Collaborative Filtering

IRTを協調フィルタリングとして解く

Bergner et al.（2012）”Machine-Learning Item Response Theory”

https://eric.ed.gov/?id=ED537194

機械学習の枠組みからIRTを再解釈し、協調フィルタリングを用いた新たな分析手法を提案

学習者×設問の正誤データを、CFの評価（予測精度・CV）でモデル選択する、という立場。

IRTモデルは協調フィルタリングモデルの特殊形

協調フィルタリング

協調フィルタリングのアプローチの一つには、「成約」「クリック」など2値で評価された反応を正則化されたロジスティック回帰で解くものがある。

数式として書くと、ユーザー\(i\)がアイテム\(j\)に対して反応する（\(U_{ij}=1\)となる）確率を次のようにモデリングする：

\[ \operatorname{Pr}\left\{U_{i j}=1 \mid \boldsymbol{\theta}_i, \boldsymbol{x}_j\right\}=\sigma\left(x_{j 0}+\theta_{i 0}+\sum_{k=1}^r \theta_{i k} x_{j k}\right) \]

ここで\(\sigma(\cdot)\)はロジスティック・シグモイド関数

\[ \sigma(z_{i j})=\frac{1}{1+e^{-z_{i j}}} \]

そして \(\boldsymbol{\theta}_i, \boldsymbol{x}_j\)はパラメータ

\[ \boldsymbol{\theta}_i=(\begin{array}{lllll} 1 & \theta_{i 0} & \theta_{i 1} & \cdots & \theta_{i r} \end{array})^T \quad \boldsymbol{x}_j=(\begin{array}{lllll} x_{j 0} & 1 & x_{j 1} & \cdots & x_{j s} \end{array})^T \]

両者の次元数が一致する場合、線形結合が定義できる

\[ z_{i j}=\left\langle\boldsymbol{\theta}_i, \boldsymbol{x}_j\right\rangle=x_{j 0}+\theta_{i 0}+\sum_{k=1}^r \theta_{i k} x_{j k} \]

IRTモデル

IRTモデルにおいても、ユーザー\(i\)がアイテム\(j\)に対して反応する（\(U_{ij}=1\)となる）確率を次のようにモデリングする：

\[ \operatorname{Pr}\left\{U_{i j}=1 \mid \boldsymbol{\theta}_i, \boldsymbol{x}_j\right\}=\sigma\left(x_{j 0}+\theta_{i 0}+\sum_{k=1}^r \theta_{i k} x_{j k}\right) \]

パラメータ数に応じて既存のIRTモデルが表現できる

• \(x_0 + \theta_0\) ：Rasch (1PL)

• \(x_0 + \theta_1 x_1\) ：2PL

• \(x_0 + \sum_k \theta_k x_k\) ：多次元2PL

多次元IRT（MIRT）≒ ロジスティックMF（低ランク）

Logistic Matrix Factorization for Implicit Feedback Data