連続反応モデル#
連続反応モデル（Continuous Response Model, CRM）は連続的な反応（例：時間、強度、割合）を扱うことができる。
CRMは段階反応モデル（GRM）をさらに多段階に拡張していって連続値を扱う。
受験者\(i\)が項目\(j\)において\(x_j\)点以上をとる確率は、次のようにロジスティック関数で表すことができる
\[
p_i^*(x_j)=\frac{1}{ 1 + \exp \big(- a_j (\theta_i - b_{x_j}) \big)}
\]
これを使うと、受験者\(i\)が項目\(j\)において\(x_j\)点をとる確率 \(p_i(x_j)\) を次のように定義できる
\[
p_i(x_j) = \lim _{\Delta x_j \to 0} \frac{p_i^*(x_j)-p_i^*(x_j+\Delta x_j)}{\Delta x_j}
\]
\(b_{x_j}\)は項目\(j\)において\(x_j\)以上の点を取る困難度で、ロジスティック関数の逆関数を用いて以下のように定義される
\[
b_{x_j} = \beta_j + \frac{1}{\alpha_j} \log \frac{x_j}{K_j-x_j}
\]
ここで\(\alpha_j, \beta_j\)はロジスティック関数の逆関数における識別力と困難度を表現するパラメータ、\(K_j\)は\(x_j\)のとる最大値（\(x_j \in [0, K_j]\)）