損益分岐点

損益分岐点#

損益分岐点（breakeven point）は利益がゼロの売上水準

損益分岐点#

\[ 利益 := 売上 - 費用 \]

と定義されるため、利益がゼロのときは 売上=費用 で、費用を分解すると

\[ 売上=固定費+変動費 \]

ここで

  • 固定費（Fixed Cost）：売上に依存しない（家賃、人件費など）

  • 変動費（Variable Cost）：売上や数量に比例（原材料、仕入など）

単価を\(p\)、販売数量を\(Q\)、単位あたり変動費を\(c_V\)、固定費を\(C_F\)とすると

\[\begin{split} \begin{aligned} 売上 &= 固定費+変動費\\ \iff pQ &= C_F + c_V Q \end{aligned} \end{split}\]

損益分岐数量#

販売数量\(Q\)について解くと

\[\begin{split} \begin{aligned} p Q - c_V Q &= C_F\\ (p - c_V) Q &= C_F\\ Q &= \frac{C_F}{p - c_V} = \frac{\text{固定費}}{\text{限界利益}} \end{aligned} \end{split}\]

損益分岐売上#

限界利益が \(p-c_V\) なので限界利益率は \(\frac{ p-c_V }{p}\) となる。そのため上の式の両辺に\(p\)をかければ

\[\begin{split} \begin{aligned} pQ &= \frac{C_F}{p - c_V} p = C_F / \frac{p - c_V}{p} \\ \iff 売上 &= \frac{固定費}{限界利益率} \end{aligned} \end{split}\]

SaaSの損益分岐点#

ARPA（契約あたり売上；単価）とLTV（顧客生涯価値）とCAC（顧客獲得コスト）

\[\begin{split} L T V=\frac{A R P A \times \text { 粗利率 }}{\text { 解約率 }} \\ C A C=\frac{\text { Sales }+ \text { Marketing }}{\text { 新規顧客数 }} \end{split}\]

から

\[ LTV = CAC \]

が損益分岐点

（\(LTV / CAC \geq 3\)が健全とされる）

例

年収900万円の営業1人+広告費100万円/年かけて年間10件成約する（=CACが100万円の）toB SaaSで、粗利率10%、解約率（チャーンレート）が10%とする

もしARPAが100万円なら、

\[ L T V=\frac{A R P A \times \text { 粗利率 }}{\text { 解約率 }} =\frac{100万円 \times 0.9}{0.1} = 900万円 \]

で、\(LTV/CAC = 9\)なので健全

もしARPAが30万円なら

\[ L T V=\frac{A R P A \times \text { 粗利率 }}{\text { 解約率 }} =\frac{30万円 \times 0.9}{0.1} = 270万円 \]

\(LTV/CAC = 2.7\)なので非常に厳しい経営状態になる

粗利との関係#

粗利は売上から原価を抜いたものなので、\(粗利:=売上-変動費\) になる。

変動費が売上に比例する（ \(変動費 := v \times 売上\) ）とした場合、

\[ 売上 = 固定費 + v \times 売上 \]

これを解くと

\[\begin{split} 売上 - v \times 売上 = 固定費\\ (1 - v) \times 売上 = 固定費\\ 売上 = \frac{固定費}{1 - v}\\ \end{split}\]

となる。

なお\(1 - v\)は粗利率を意味する：

\[\begin{split} 粗利:=売上-変動費\\ \iff 粗利 = 売上 - v \times 売上\\ \iff 粗利 = (1 - v) \times 売上\\ \iff 1 - v = \frac{粗利}{売上} = 粗利率\\ \end{split}\]
利益が出る売上は

固定費が3000万円、粗利率が10%としたとき

\[ 損益分岐売上 = \frac{3000万円}{0.9} = 3333万円 \]

自動車部品業界 のtier 1のように企業数が少ない狭めの業界を対象とした BtoB SaaSの場合、例えば100社に導入することを仮定すると、1社あたりの損益分岐売上（=SaaSの損益分岐単価）は

\[ 損益分岐単価 = \frac{3333万円}{100} = 33.3万円 \]
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