コブ＝ダグラス型関数#
コブ＝ダグラス型関数（Cobb–Douglas function） は、投入要素間の代替の弾力性が1である生産関数や効用関数
コブ＝ダグラス型生産関数
\[
Y=A \prod_{i=1}^N X_i^{\alpha_i}
\]
\(Y\): 産出量
\(A\): 全要素生産性
\(X_i\): 投入量
\(\alpha_i\): 生産要素\(i\)の弾力性パラメータ
2生産要素のコブ＝ダグラス型生産関数#
2生産要素のコブ＝ダグラス型生産関数
\[
Y=A K^\alpha L^\beta
\]
\(Y\): 産出量
\(A\): 技術水準や全要素生産性
\(K\): 資本
\(L\): 労働
\(\alpha, \beta\): それぞれの要素の寄与の強さ
性質#
1. 収穫逓減を表現できる#
収穫逓減などは\(\alpha, \beta\)で設定できる
\(\alpha+\beta=1\): 収穫一定
\(\alpha+\beta>1\): 収穫逓増
\(\alpha+\beta<1\): 収穫逓減
2. 限界生産力が計算しやすい#
資本や労働を1単位増やしたときの増分が微分で簡単に出せる
労働の限界生産力は
\[
\frac{\partial Y}{\partial L}=A K^\alpha \beta L^{\beta-1}
\]
資本の限界生産力は
\[
\frac{\partial Y}{\partial K}=A \alpha K^{\alpha-1} L^\beta
\]
3. 対数をとると線形になる#
両辺の対数をとると
\[
\log Y=\log A+\alpha \log K+\beta \log L
\]
となるので、回帰分析で扱いやすい。
ビジネスでの応用例#
\[
売上 = OOH広告^{\beta_{OOH}} \times TVCM^{\beta_{TVCM}} \times \epsilon
\]